高端精品高中数学一轮专题-基本不等式及其应用（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-基本不等式及其应用（讲）（带答案）教案，共13页。教案主要包含了知识清单，教材衍化，走出误区，考点分类剖析，方法技巧，变式探究，总结提升等内容，欢迎下载使用。
基本不等式及其应用新课程考试要求1.探索并了解基本不等式的证明过程．2.掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用..核心素养培养学生数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.考向预测1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解决实际问题3.基本不等式的综合应用【知识清单】1．重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．2．基本不等式当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．3．基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．4.常用推论（1）（）（2）（，）；（3）【教材衍化】1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80  B．77 C．81  D．82解析：选C．xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C．2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．答案：25 m2【走出误区】一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、易错纠偏常见误区(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；(2)忽视定值存在；(3)忽视等号成立的条件．1．若x<0，则x＋(　　)A．有最小值，且最小值为2  B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2  D．有最大值，且最大值为－2解析：选D．因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.2．若x>1，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：53．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________．解析：y＝2x(1－x)≤2＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．答案： 【考点分类剖析】考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1.证明：；【答案】证明见解析.【解析】由不等式，令，则有，即可证得.例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【答案】见解析【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.求证:【答案】见解析【解析】证明:由基本不等式和得=当且仅当即时取等号.2.已知、、都是正数，求证：【答案】见解析【解析】∵、、都是正数∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） ∴（当且仅当时，取等号）即.考点二：利用基本不等式求最值例3.【多选题】设正实数a，b满足，则（    ）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，，A正确；，B错误；，C正确；，D正确．故选：ACD．例4.若正实数，满足，则的最小值是______．【答案】【解析】因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，则，时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，所以的最小值是．故答案为：．【变式探究】1.若正数满足，则的最小值为（   ）A．  B． C．  D．3【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.2.设，则的最小值为__________.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考点三：运用基本不等式解决含参问题例5.已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．【答案】、(－∞，9]　【解析】、m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.解法1(消元法)　由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法2(“1”的代换)　因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法3(函数法)　令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.【变式探究】1.已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．【答案】【解析】由得．又，∴，∴的最大值为．2.（1） 已知函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是______．（2）已知正数满足恒成立，则实数的最小值为________．【答案】（1） （2）2【解析】(1)对任意恒成立，即恒成立，即知设，则．∵∴．∴，∴，故的取值范围是． (2)∵，∴ (当且仅当时取等号)．又由可得，而，∴当且仅当时，∴的最小值为．方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，考点五、运用基本不等式解决实际问题考点四：运用消参法解决不等式问题例6.若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．【答案】8　【解析】解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.【变式探究】1.若，且，则的最小值为            ．【答案】：【解析】、由已知等式得，从而，，故有最小值. 2.设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．【答案】【解析】思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y. 由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．3.已知正数x，y满足，求的最小值．【答案】【解析】法一:因为，所以．又因为，所以，即．所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．法二方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点五：基本不等式的实际应用例7.已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆锥底面半径为，高为，由题意可得母线，所以圆锥的侧面积为，且，所以圆锥的体积为，则，当且仅当，即时取等号，此时.故选：D.【变式探究】（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是       .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.考点六：基本不等式的综合运用例8.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.【答案】2【解析】因为，所以，因为，所以，解得，由余弦定理得，则，所以，因为，， 所以，当且仅当时取等号，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故答案为：2例9.已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】（1）①当即时，，不合题意；     ②当即时，，即， ∴，∴ （2）即即①当即时，解集为 ②当即时，∵，∴解集为 ③当即时，∵，所以，所以∴解集为 （3）不等式的解集为，，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，因为恒成立，所以恒成立， 设则，，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，，所以【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1.已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则： ， ，，，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.2.设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.