高端精品高中数学一轮专题-不等式的性质及常见不等式解法（讲）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-不等式的性质及常见不等式解法（讲）教案，共8页。教案主要包含了知识清单，常用结论，考点分类剖析，变式探究，领悟技法，易错警示等内容，欢迎下载使用。
不等式的性质及常见不等式解法新课程考试要求1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.核心素养培养学生数学运算（例2.3.4）、数学建模（例1）、逻辑推理（例2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.不等式的性质及应用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立问题【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性质8：如果a>b>0，那么>，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R }ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅6．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为__分式不等式__.>0⇔f(x)g(x)>0，<0⇔f(x)·g(x) <0.≥0⇔ ⇔f(x)·g(x) >0或.≤0⇔⇔f(x)·g(x)< 0或7．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．8.不等式恒成立问题 　1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.9．绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．绝对值不等式的应用如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【常用结论】1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒<.(2)a<0<b⇒<.(3)a>b>0,0<c<d⇒>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.2．两个重要不等式若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)．(2)>；<(b－m>0)．  一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)(2)若>1，则a>b.(　　)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　　)   二、易错纠偏(1)乱用不等式的相乘性致错；(2)求范围乱用不等式的加法原理致错．1．若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　)A．－>0　　　　　　B．－<0C．>  D．<【考点分类剖析】考点一 ：用不等式表示不等关系例1.用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18,要求菜园的面积不小于216 ,靠墙的一边长为,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.      【变式探究】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？     考点二：比较数或式子的大小例2. 已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．   【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【变式探究】(1)比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；(2)设a∈R且a≠0，比较a与的大小．    考点三：不等式性质的应用例3. 【多选题】若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（    ）A． B． C． D．例4. 若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a＜b＜c　B．c＜b＜aC．c＜a＜b  D．b＜a＜c 例5. 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，则f(－2)的取值范围是       ．   【变式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及的取值范围．【易错警示】错用不等式的性质致错.考点四：一元二次不等式的解法例6.已知集合则（    ）A． B．C． D．【变式探究】1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．考点五：绝对值不等式的解法例7.已知，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为             .   【变式探究】1.设，则“”是“”的（    ）（A）充分而不必要条件  （B）必要而不充分条件（C）充要条件          （D）既不充分也不必要条件2.不等式的解集为_______________． 考点六：绝对值不等式的应用如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．例9.若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（    ）A．或 B． C． D． 【变式探究】1.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.   考点七：不等式恒成立问题例10.已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0例11.已知函数，关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.    【变式探究】函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．