2012数学第7章章末综合检测（湘教版选修2-3）教案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若A＝12C，则n等于(　　)

A．8　　　　　　　 B．5或6

C．3或4   D．4

解析：选A.A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，

∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，

又n∈N＋，且n≥3.解得n＝8.

2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)

A．14   B．24

C．28   D．48

解析：选A.6人中选4人的方案有C＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案有14种．

3．从5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数是(　　)

A．480   B．240

C．120   D．96

解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，

∴分法数为CA＝240.

4．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)

A．－2048   B．－1023

C．－1024   D．1024

解析：选C.(x－1)11＝Cx11＋Cx10(－1)＋Cx9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1024.

5.10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是(　　)

A．0   B．2

C．4   D．6

解析：选B.Tr＋1＝Cx·r·x－r

＝Cr·x.

若是正整数指数幂，则有为正整数，

∴r可以取0,2，∴项数为2.

6．(2011年高考大纲全国卷)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　)

A．12种   B．24种

C．30种   D．36种

解析：选B.分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有C种不同的选法，第二步给第3位同学选课程，必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，第三步给第4位同学选课程，也有2种不同的选法，故共有N＝C×2×2＝24种不同的选法．

7．(2011年高考广东卷)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(　　)

A．20   B．15

C．12   D．10

解析：选D.正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.

8．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)

A．AA   B．AA

C．AA   D．AA

解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A种排法，

再把8名学生排列，有A种排法，共有A×A种排法．

9．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　)

A．25种   B．35种

C．820种   D．840种

解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；两人都不参加，有C种选法．所以共有2C＋C＝25种不同的选派方案．

10．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有(　　)

A．48种   B．192种

C．240种   D．288种

解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A种排法，而女生可互换位置，所以共有A×A种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A×A(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A×A－A×A＝192.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)

11．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．

解析：先让5名大人全排列有A种排法，两个小孩再依条件插空有A种方法，故共有AA＝1440种排法．

答案：1440

12.18的展开式中含x15的项的系数为________．

解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx18－rr＝rrCx18－.

令18－＝15，解得r＝2.

∴含x15的项的系数为22C＝17.

答案：17

13．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．

解析：分两类，有4件次品的抽法为CC(种)；有三件次品的抽法有CC(种)，所以共有CC＋CC＝4186种不同的抽法．

答案：4186

14．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．

解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC＝80(种)．

答案：80

15．如图，“优化方案，成功相伴”，从上往下读(不能跳格读)共有不同的读法种数为________.

解析：每一种读法相当于从“优”字出发，一步一步地走到“伴”字的走法．每一种走法需要7步，其中3步是按从右上角到左下角方向走的．一旦这个方向确定，其余走法是1种，故读法种数为C＝＝20.

答案：20

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分13分)求(－)9展开式中的有理项．

解：∵Tr＋1＝C(x)9－r(－x)r＝(－1)rCx.

令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0,1,2，…，9.

∴r＝3或r＝9.

当r＝3时，＝4，T4＝(－1)3·C·x4＝－84x4；

当r＝9时，＝3，T10＝(－1)9·C·x3＝－x3.

∴(－)9的展开式中的有理项是：

第4项：－84x4；第10项：－x3.

17．(本小题满分13分)有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？

解：分三类：

(1)若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，

有A＝24(种)；

(2)若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，

即有CA＝36(种)；

(3)若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，

即有CA＝12(种)．

综上，共有24＋36＋12＝72(种)．

18．(本小题满分13分)某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．

(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？

(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？

解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．

(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．

(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．

19．(本小题满分12分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是从集合{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中选取的3个不同的值，求可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？

解：由图形特征分析，a>0，开口向上，坐标原点在内部⇔f(0)＝c<0；a<0，开口向下，原点在内部⇔f(0)＝c>0，所以，对于抛物线y＝ax2＋bx＋c来讲，原点在其内部⇔af(0)＝ac<0，则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b，故满足题设的抛物线共有C×C×A×A＝144(条)．

20．(本小题满分12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：

(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？

(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？

解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：

第一类：0在个位时，有A个；

第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A×A(个)；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A×A(个)．

由分类加法计数原理得：

共有A＋2A×A＝156(个)．

(2)为5的倍数的五位数可分为两类：

第一类：个位上为0的五位数有A个；

第二类：个位上为5的五位数有A×A(个)，

故满足条件的五位数共有A＋A×A＝216(个)．

(3)比1325大的四位数可分为三类：

第一类：形如2，3，4，5，共有A×A(个)；

第二类：形如14，15，共有A×A(个)；

第三类：形如134，135，共有A×A(个)．

由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：

A×A＋A×A＋A×A＝270(个)．

21．(本小题满分12分)(1)若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2011x2011(x∈R)，求(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋…＋(a0＋a2011)的值；

(2)如果(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|的值．

解：(1)令x＝0，得a0＝1，

再令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2011＝－1，

那么a1＋a2＋…＋a2011＝－2，

(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋…＋(a0＋a2011)＝2011－2＝2009.

(2)因为展开式的通项为Tr＋1＝(－2)rCxr，r∈{0,1,2,3，…，8}，所以当r为偶数时，系数为正；当r为奇数时，系数为负，故有|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－…＋a8.令展开式中的x＝－1即可得到(1＋2)8＝a0－a1＋a2－a3＋a4－…＋a8＝38，

即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38.