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    内蒙古赤峰二中高中数学新人教B版必修2:3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
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    内蒙古赤峰二中高中数学新人教B版必修2:3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案01
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    必修2第二章 平面解析几何初步综合与测试教学设计

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    这是一份必修2第二章 平面解析几何初步综合与测试教学设计,共3页。

    知识与技能
    (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
    (2)理解直线的倾斜角的唯一性.
    (3)理解直线的斜率的存在性.
    (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
    情感态度与价值观
    (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
    (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
    重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
    教学用具:计算机
    教学方法:启发、引导、讨论.
    教学过程:
    (一)直线的倾斜角的概念
    我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
    (1)它们都经过点P. (2)它们的'倾斜程度'不同. 怎样描述这种'倾斜程度'的不同?
    引入直线的倾斜角的概念:
    当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
    问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α<180°.
    当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
    因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
    如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
    确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.
    (二)直线的斜率:
    一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
    k = tanα
    ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
    ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
    由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
    例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
    α=135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1.
    学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
    (三) 直线的斜率公式:
    给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
    可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
    共同完成斜率公式的推导.(略)
    斜率公式:
    对于上面的斜率公式要注意下面四点:
    (1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;
    (2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
    (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
    (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.
    (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
    (四)例题:
    例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
    分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
    而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
    而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
    而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
    略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
    直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
    直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
    例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
    分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
    略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
    1=(y-0)/(x-0)
    所以 x = y
    可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
    M(1,1), 可作直线a.
    同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
    (五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
    (六)小结:
    (1)直线的倾斜角和斜率的概念.
    (2) 直线的斜率公式.
    (七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
    (八)板书设计:
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