高中2.3.2圆的一般方程教学设计

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掌握圆的一般方程及一般方程的特点能将圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法由已知条件导出圆的方程培养学生数形结合思想,方程思想,提高学生分析问题及解决问题的能力.
重点:圆的一般方程及一般方程的特点难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求圆的方程.
圆的标准方程及特征是怎样的?标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2特征(1)含有三个参数a,b,r,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.(2)从圆的标准方程可以直观地看出圆心(a,b)和半径r.求圆的标准方程常见方法有哪些?(1)定义法;(2)待定系数法.
展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得:X2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0….(1)若设D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,(1)式可写成X2+y2+Dx+Ey+F=0,即任何一个圆的方程都可以写成X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
问题 是不是每一个形如X2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆?
1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0).2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系:(1)(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点.3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系:(1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的一般方程.4.圆的一般方程的特点:(1)x2和y2的系数相同且不等于0.(2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的一般方程.
例1 (1)A=C≠0是方程AX2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要.(2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )
例2 求经过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0根据所给条件用待定系数法可得方程:{
4D+2E+F+20=0
解这个方程组,得F=0,D=-8,E=6.于是得到所求圆的方程 x2+y2-8x+6y=0 圆心坐标是(4,-3),半径r=
例3 求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
解1:设所求圆方程(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得:
解法2:设所求方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得:
例4 求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0,由韦达定理得x1+x2=-D,x1.x2=F,又∴D2-4F=36…(1)∵圆过P(-2,4),Q(3,-1)∴(-2)2+42+(-2)D+4E+F=0,即:2D-4E-F=0(2)32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3)由(1),(2),(3)联立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
用待定系数法求圆的方程时,如果由已知条件容易得出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标和半径布列方程(组)时,一般用圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标及半径都无直接关系,一般用圆的一般方程.
例5 已知一曲线是与两个定点A(3,0)和O(0,0)距离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线方程,并画出曲线.
解:在给定的坐标系里,设点M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是点M属于集合
由x2+y2+2x-3=0改写成(x+1)2+y2=4.所以曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆,图形如下:
课本P79练习1,2补充:1.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上,半径为2,当D>E时,D等于( )A.2 B.0或2 C.0 D. ±22.求证:对任意实数m,方程x2+y2+4mx-2y-3m=0的曲线都是圆.3.求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x=y-2=0上的圆的方程.
(x-1)2+(y-1)2=4或x2+y2-2x-2y-2=0