2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数§2任意角学案含解析北师大版必修第二册

§2　任意角学 习 任 务核 心 素 养1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点)1．通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养． 周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点1　角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．知识点2　按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角1.(1)角的三要素是什么？(2)正角、负角、零角是根据什么区分的？[提示]　(1)角的三要素是顶点、始边、终边．(2)根据射线是否旋转及旋转的方向．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．  (　　)(2)终边与始边重合的角为零角．  (　　)(3)大于90°的角是钝角．  (　　)(4)将时钟拔快20分钟，则分针转过的度数是120°. (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×知识点3　象限角如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2.第二象限角比第一象限角大吗？[提示]　不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.2.－300°是第(　　)象限角A．一    B．二    C．三    D．四A　[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A.]知识点4　终边相同的角给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．3.终边相同的角一定相等吗？[提示]　不一定．如30° 与390°角的终边相同，但并不相等．3.将－885°化为α＋k·360°(0°≤ α<360°，k∈Z)的形式是________．[答案]　195°＋(－3)× 360° 类型1　角的概念的推广【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数．(1)　　　　　　　　　　(2)[解]　由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.1.理解角的概念的三个“明确” 2.表示角时的两点注意(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“ α”.(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负．1．(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．(1)－150°　210°　(2)－60°　[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°.] 类型2　终边相同的角【例2】　(教材北师版P7例3改编)已知α＝－1 190°.(1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z，0°≤ β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤ θ＜0°.[解]　(1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可．2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．[解]　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤ α≤ 60°＋n·180°，n∈Z}． 类型3　象限角【例3】　(教材北师版P6例1改编)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．根据终边相同的角一定是同一象限的角，可以先写出第一象限角的范围和第二象限角的范围，再加上360°的整数倍即可．[解]　第一象限角的集合：S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．,象限角的判定方法,因为在直角坐标平面内，0°～360°范围的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系，所以可利用终边相同的角的表示将角转化到0°～360°范围内来判断．3．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是(　　)A．0    B．1    C．2    D．3C　[－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．]1．设A＝{α|α为锐角}，B＝{α|α为小于90°的角}，C＝{α|α为第一象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)A．A＝B    B．B＝C    C．A＝C    D．A＝DD　[根据角的分类，可知应选D.]2．下面各组角中，终边相同的是(　　)A．390°，690°     B．－330°，750°C．480°，－420°   D．3000°，－840°B　[因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．]3．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C　[－457°＝－2×360°＋263°，故选C.]4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．－252°　[∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.]5．－1 060°的终边落在第________象限．一　[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边在第一象限．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.高中阶段所学的角与初中所学的角有什么不同？[提示]　对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2.用集合表示区域角时表示形式唯一吗？[提示]　区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k× 360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．