2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数§3蝗制学案含解析北师大版必修第二册

§3　弧度制

知识点1　弧度制的定义

在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制．

1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？

[提示]　确定．

知识点2　角度与弧度的互化

2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？

(2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？

[提示]　(1)1度；(2)弧度．

1.(1)与120°角终边相同的角为(　　)

A．2kπ－ (k∈Z)　 B．

C．2kπ－(k∈Z)    D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

(2)－化为角度应为(　　)

A．－345°     B．－15°

C．－315°     D．－375°

(1)C　(2)A　[(1)120°＝且2kπ－＝(2k－4)π＋(k∈Z)，

∴120°与2kπ－(k∈Z)，终边相同．

(2)－＝－ ×180°＝－345°.]

知识点3　弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

2.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．

　[由弧长公式l＝αR，得α＝＝＝.]

类型1　弧度制的概念

【例1】　下列说法中，错误的是(　　)

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的

C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关

D　[A正确；

1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；

根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．

根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D.]

1.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的

2.在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围．

1．下列各说法中，错误的说法是(　　)

A．半圆所对的圆心角是πrad

B．周角的大小等于2π

C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

D　[根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．

对照选项，知A、B、C正确，D项错误．]

类型2　角度制与弧度制的互化

【例2】　(教材北师大版P10例1、例2改编)将下列各角度与弧度互化．

(1)112°30′；(2)π rad；(3)－3 rad.

[解]　(1)112°30′＝112.5°＝ rad×112.5＝ rad.

(2)π rad＝×180°＝405°.

(3)－3 rad＝－3×≈－171.9°.

1.在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键．

2.一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．

3.弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．

2．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.

[解]　∵－1480°＝×(－1480)＝－.

又∵－＝－10π＋π，且0≤π<2π.

∴－1480°＝2×(－5)π＋π.

类型3　弧长公式与扇形面积公式

【例3】　已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

先用半径r表示弧长，再依据S＝lr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值．

[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.

∵l＝20－2r，

∴S＝lr＝(20－2r)· r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).

∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.

此时α＝＝＝2(rad).

∴当扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，

扇形面积最大，最大值为25 cm2.

灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，解决扇形中的有关最值问题可运用函数思想，将扇形面积表示为半径r的函数，再求该函数的最值．

3．(1)一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．

(2)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.则的长为________．

(1)2 rad　(2)4π　[(1)设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，

∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，得1＝(4－2R)·R，

∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，

即扇形的圆心角为2 rad.

(2)∵α＝120°＝π，r＝6，

∴的长l＝ π×6＝4π.]

1.弧度化为角度是(　　)

A．110°　 　B．160°　  C．108°　　　D．218°

C　[＝×180°＝108°.]

2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)

A．π cm    B．π cm    C．π cm    D．π cm

A　[根据弧长公式，得l＝×8＝(cm).]

3．把22°30′化为弧度的结果是________．

　[22°30′＝22.5°＝π＝.]

4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的度数为________rad.

　[因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°即为 rad.]

5．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．

{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}　[若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π(k∈Z).]

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回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.角的概念推广后，角的集合与实数集R之间是怎样的关系？

[提示]　角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2.在解决与角有关的问题时，应注意什么？

[提示]　(1)解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．

(2)在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．,