2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数§6第2课时函数y＝Asinωx＋φ的性质学案含解析北师大版必修第二册

第2课时　函数y＝Asin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))的性质在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示．问题　你能根据图象，求出A，ω，φ吗？知识点　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))的取值有何关系？[提示]　“f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝0”是“f(x)是奇函数”的充要条件．“f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝±A”是“f(x)是偶函数”的充要条件．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝sin 2x在[0，π]和[2π，3π]上的图象形状相同，只是位置不同． (　　)(2)－ eq \f(1,3)≤ eq \f(1,3)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤ eq \f(1,3). (　　)(3)函数y＝3sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象关于直线x＝－ eq \f(3π,8)轴对称． (　　)(4)函数y＝sin  eq \f(1,2)x的零点是x＝kπ，k∈Z.(　　)[答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)× 类型1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的最值问题【例1】　(1)函数y＝－2sin (2x－ eq \f(π,4))＋1的最大值为________，取得最大值时x＝________．(2)求函数y＝ eq \r(2)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域．(1)3　－ eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z　[ymax＝－2×(－1)＋1＝3，令2x－ eq \f(π,4)＝－ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得x＝－ eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z.](2)[解]　∵0≤x≤  eq \f(π,2)，∴ eq \f(π,4) ≤2x＋ eq \f(π,4) ≤  eq \f(5π,4).∴－ eq \f(\r(2),2) ≤sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤1.∴－1≤  eq \r(2)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤  eq \r(2)，即－1≤y≤  eq \r(2).∴函数y＝ eq \r(2)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域为[－1， eq \r(2)].本例(1)中的函数解析式不变，结论改为：求函数的最小值及取得最小值时x的值．[解]　ymin＝－2×1＋1＝－1，令2x－ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得x＝ eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z.求函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤(1)换元，令u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图象；(3)结合图象求出值域． eq \a\vs4\al([跟进训练])1．已知f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))) (ω>0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝________． eq \f(14,3)　[如图所示，由题意知：f(x)在x＝ eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝ eq \f(π,4)处取得最小值．∴ eq \f(π,4)ω＋ eq \f(π,3)＝2kπ－ eq \f(π,2) (k∈Z).∴ω＝8k－ eq \f(10,3) (k∈Z).∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－ eq \f(10,3)＝ eq \f(14,3)；当k≥2时，ω≥16－ eq \f(10,3)＝ eq \f(38,3)，此时在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))内已存在最大值．故ω＝ eq \f(14,3).] 类型2　求y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期【例2】　求下列函数的周期：(1)y＝3sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1；(2)y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin x)).(1)用T＝ eq \f(2π,ω)求周期；(2)利用函数的图象来求周期．[解]　(1)∵ω＝2，∴T＝ eq \f(2π,ω)＝ eq \f(2π,2)＝π.(2)y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin x))的图象如下：由图象可知，T＝π.1.形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b的函数的周期为T＝eq \f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ω)))．2.形如函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))))的周期可用图象法求解，其周期为T＝eq \f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ω)))，因此周期减半． eq \a\vs4\al([跟进训练])2．函数y＝5sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的最小正周期为________．4π　[函数y＝5sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的最小正周期T＝ eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.] 类型3　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间【例3】　求函数y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))的单调增区间．[解]　y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝－2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).所以其单调递增区间，就是y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的单调递减区间．由2kπ＋ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,6)≤2kπ＋ eq \f(3,2)π(k∈Z)，得kπ＋ eq \f(π,3)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,6)，(k∈Z)因此函数y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))的单调增区间为[kπ＋ eq \f(π,3)，kπ＋ eq \f(5π,6)](k∈Z).求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin x的单调增(减)区间，求得函数的增(减)区间，当ω<0时，可用诱导公式化其为正． eq \a\vs4\al([跟进训练])3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是________.  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6k，6k＋3))，k∈Z　[由其图象特征知，其周期为6，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))为最大值，所以f(x)的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6k，6k＋3))，k∈Z.] 类型4　函数y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性与对称性【例4】　(1)函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴方程为________，对称中心为________．(2)若函数f(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))是偶函数，则φ的值可以是(　　)A． eq \f(5π,6) B． eq \f(π,2) C． eq \f(π,3) D．－ eq \f(π,2)(1)x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))，k∈Z　(2)A　[(1)令sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝±1，得2x＋ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，∴x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)(k∈Z)，∴函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴方程为x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)(k∈Z).令sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝0，得2x＋ eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，∴x＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,6)(k∈Z)，∴函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))，k∈Z.(2)由f(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))为偶函数得φ－ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋ eq \f(5π,6).∴当k＝0时，φ＝ eq \f(5π,6).故选A.]关于函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性与奇偶性(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式，可以求出函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称中心、对称轴．(2)若函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. eq \a\vs4\al([跟进训练])4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．[解]　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1.依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝ eq \f(π,2).由f(x)的图象关于点M对称，可知sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，解得ω＝ eq \f(4k,3)－ eq \f(2,3)，k∈Z.又∵f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，∴T≥π，即 eq \f(2π,ω) ≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，∴当k＝1时，ω＝ eq \f(2,3)；当k＝2时，ω＝2.∴φ＝ eq \f(π,2)，ω＝2或ω＝ eq \f(2,3).1．函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期为(　　)A．4π B．2π C．π D． eq \f(π,2)C　[由题意T＝ eq \f(2π,2)＝π，故选C.]2．函数y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1的最大值是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4C　[当2x＋ eq \f(π,6)＝2kπ＋ eq \f(π,2)时，即x＝kπ＋ eq \f(π,6)(k∈Z)时最大值为3.]3．已知函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)A．关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝ eq \f(π,4)对称C．关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称 D．关于直线x＝ eq \f(π,3)对称A　[由f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3))的最小正周期为π，则ω＝2，∴f(x)＝sin (2x＋ eq \f(π,3))，易知( eq \f(π,3)，0)是它的一个对称中心，故选A.]4．函数y＝ eq \f(1,2)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))与y轴最近的对称轴方程是________.x＝－ eq \f(π,6)　[令2x－ eq \f(π,6)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，∴x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,3)(k∈Z).由k＝0，得x＝ eq \f(π,3)；由k＝－1，得x＝－ eq \f(π,6).]5．函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,2)))的单调递增区间为________． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,3)))　[∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,2)))，∴ eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))，∵y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增．∴－ eq \f(π,6) ≤  eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,3) ≤  eq \f(π,2).解得－π≤x≤  eq \f(π,3).故答案为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,3))).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间？[提示]　在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，再根据函数y＝sin x的单调增(减)区间求解，但需注意A和ω的符号，从而正确确定函数的单调增(减)区间．2.如何用整体思想研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质？[提示]　在研究y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时取得最大值，在ωx＋φ＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z时取得最小值．学 习 任 务核 心 素 养1．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重、难点)2．理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性．(重点、易混点)通过函数y＝A sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))的性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养．定义域R值域[－A，A]周期T＝ eq \f(2π,ω)奇偶性φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由2kπ－ eq \f(π,2) ≤ωx＋φ≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤ωx＋φ≤2kπ＋ eq \f(3,2)π(k∈Z)求得