2020-2021学年6.1 余弦定理与正弦定理第2课时导学案

这是一份2020-2021学年6.1 余弦定理与正弦定理第2课时导学案，共8页。

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？
知识点 正弦定理
1.在△ABC中，“A＞B”⇔“sin A＞sin B”吗？
[提示] 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔ eq \f(a,2R)＞ eq \f(b,2R)⇔sin A＞sin B．
2．利用正弦定理可以解决哪两类三角形问题？
[提示] (1)已知两边和一角，求第三边和其他两角；(2)已知两角和一边，求第三个角和其他两边．
在△ABC中，下列式子与 eq \f(sin A,a)的值相等的是( )
A． eq \f(b,c) B． eq \f(sin B,sin A) C． eq \f(sin C,c) D． eq \f(c,sin C)
C [由正弦定理知 eq \f(sin A,a)＝ eq \f(sin C,c).]
类型1 已知两角及一边解三角形
【例1】 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)得，b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝ eq \f(8×sin 60°,sin 45°)＝ eq \f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4 eq \r(6).
所以A＝45°，b＝4 eq \r(6).
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a和B.
[解] ∵ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，
∴a＝ eq \f(c sin A,sin C)＝ eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10 eq \r(2).
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
类型2 已知两边及其中一边的对角解三角形
【例2】 在△ABC中，已知c＝ eq \r(6)，A＝45°，a＝2，且sin 15°＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4)，cs 15°＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，解三角形．
[解] ∵ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝ eq \f(c sin A,a)＝ eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝ eq \f(\r(3),2)，
∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝ eq \f(c sin B,sin C)＝ eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)，
由已知cs 15°＝sin 75°＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
∴b＝ eq \f(\r(6)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝ eq \r(3)＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝ eq \f(c sin B,sin C)＝ eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)，
由已知sin 15°＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4)，
∴b＝ eq \f(\r(6)×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(3),2))＝ eq \r(3)－1.
∴b＝ eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝ eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°.
1．(变条件、变设问)若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，其他条件不变，则角A有几个值？
[解] ∵ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，
∴sin A＝ eq \f(a sin C,c)＝ eq \f(2×\f(\r(2),2),\r(6))＝ eq \f(\r(3),3).
∵c＝ eq \r(6)＞2＝a，∴C＞A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为 eq \f(\r(3),3)，这样的角A只有一个．
2．(变设问)本例条件不变，试求△ABC的外接圆半径．
[解] ∵ eq \f(a,sin A)＝2R，
∴R＝ eq \f(a,2sin A)＝ eq \f(2,2×\f(\r(2),2))＝ eq \r(2).
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．在△ABC中，a＝1，b＝ eq \r(3)，A＝30°，求边c的长．
[解] 由 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(\r(3),2).
∵a＜b，∴B＞A＝30°，
∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ eq \r(a2＋b2)＝ eq \r(1＋3)＝2.
②当B＝120°时，
C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
类型3 正、余弦定理的简单综合应用
【例3】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝ eq \r(3)a cs B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[解] (1)∵b sin A＝ eq \r(3)a cs B，
由正弦定理得sin B sin A＝ eq \r(3)sin A cs B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝ eq \r(3)，∴B＝ eq \f(π,3).
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cs B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cs eq \f(π,3)，
解得a＝ eq \r(3)，∴c＝2a＝2 eq \r(3).
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－ eq \r(2)a sin C＝b sin B.
(1)求角B的大小；
(2)若C＝60°，b＝2，求c.
[解] (1)由正弦定理得a2＋c2－ eq \r(2)ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs B.
故cs B＝ eq \f(\r(2),2)，又因为0°＜B＜180°，
所以B＝45°.
(2)由正弦定理得c＝b· eq \f(sin C,sin B)＝2× eq \f(sin 60°,sin 45°)＝ eq \r(6).
1．(多选题)有关正弦定理的叙述正确的是( )
A．正弦定理只适用于锐角三角形
B．正弦定理不适用于钝角三角形
C．在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值
D．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
CD [正弦定理适用于任意三角形，故AB均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性质和正弦定理可推知D正确．故选CD.]
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(6),3) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)
A [由于 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，故 eq \f(15,\f(\r(3),2))＝ eq \f(10,sin B)，
解得sin B＝ eq \f(\r(3),3).故选A.]
3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定
A [∵b＜a，A＝30°，∴B＜30°，故三角形有一解．故选A.]
4．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则 eq \f(a,sin A)＝________．
4 [ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(2,\f(1,2))＝4.]
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝5 ，B＝ eq \f(π,4)，cs A＝ eq \f(2\r(2),3)，则a＝________．
eq \f(5\r(2),3) [因为cs A＝ eq \f(2\r(2),3)，0＜A＜π，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A)＝ eq \f(1,3)，所以由正弦定理得a＝ eq \f(b sinA,sin B)＝ eq \f(5\r(2),3).]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1.正弦定理有什么特点？
[提示] 正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式；
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2.正弦定理有哪些变形？
[提示] 正弦定理的常见变形
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径)；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝\f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)；
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝\f(b,sin B)＝\f(c,sin C)；
(5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B．
三角形解的个数问题
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不一定能被唯一确定．不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知角A，角A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径作圆；③观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数．
显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：
当A为钝角(或直角)时，有如图所示的两种情况：
根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解．若A为锐角，只有当a≥b sin A时才有解，
并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的．若A为钝角或直角，只有当a＞b时才有解．解决此类问题，我们有两种解法：
(1)正弦定理法(也称代数法或三角形中大边对大角法)：不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，根据正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，可得sin B＝ eq \f(b sin A,a).若sin B＞1，则三角形无解；若sin B＝1，则三角形有且只有一解；若0＜sin B＜1，则先根据a，b的长短关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，再求出B，从而确定三角形解的个数；
(2)公式法：不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，通过前面的探究可得三角形解的个数的判断公式如下表：
在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝ eq \r(2)(其中内角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个．
[提示] 法一：(正弦定理法)由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，可得sin B＝ eq \f(\r(2),2)sin 45°＝ eq \f(1,2)＜1.
又因为a＞b，所以A＞B，故B＝30°，
所以符合条件的△ABC只有一个．
法二：(公式法)因A为锐角，a＞b，故符合条件的△ABC只有一个．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理并了解其向量证法(难点).
2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).
1．通过正弦定理的证明，培养逻辑推理素养．
2．通过正弦定理的应用，培养数学运算素养．
语言表述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
符号表示
eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
变形
(1)a＝2R_sin_A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C；
(2)sin A＝ eq \f(a,2R)，sin B＝ eq \f(b,2R)，sin C＝ eq \f(c,2R)．
作用
实现三角形边与角的互化．
A＜90°
A≥9°
a≥b
a＜b
a＞b
a≤b
b sin A＜a＜b
a＝b sin A
a＜b sin A
一解
两解
一解
无解
一解
无解