2021_2022学年新教材高中数学第4章三角恒等变换§1同角三角函数的基本关系学案含解析北师大版必修第二册

§1　同角三角函数的基本关系

知识点　同角三角函数的基本关系

1.同角三角函数基本关系式中的角α是任意的实数吗？

提示：角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的实数；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z.

2．由同角三角函数基本关系式变形可得sin α＝±，cosα＝±，那么正负号由谁决定？

提示：由角α所在的象限决定．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin2α＋cos2β＝1.  (　　)

(2)sin2＋cos2＝1.  (　　)

(3)对任意的角α，都有tanα＝成立． (　　)

(4)若cos α＝0，则sin α＝1.  (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.已知sin α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)

A．　　 B．

C．±     D．±

D　[∵sin α＝，α∈(0，π)，∴cos α＝±＝±，∴tanα＝＝±.]

类型1　由一个三角函数值求其他三角函数值

【例1】　(教材北师版P138例1改编)(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________．

(1)[解]　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角，

①当α是第二象限角时，则sin α＝ ＝＝，

tan α＝＝＝－.

②当α是第三象限角时，则sin α＝－＝－，tanα＝.

(2)－　[∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，

即2sin αcos α＝－<0，

又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，

∴α∈，

故sin α－cos α＝＝，

可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.]

三角函数求值的方法

(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．

(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．

1．已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

[解]　由tan α＝＝，得sin α＝cos α. ①

又sin2α＋cos2α＝1，  ②

由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.

又α是第三象限角，∴cosα＝－，sin α＝cos α＝－.

类型2　三角函数式求值

【例2】　已知tan α＝2.求：

(1)；(2)4sin2α－3sinαcos α－5cos2α.

(1)三角函数基本关系式中的商数关系：tanα＝，从函数名的角度看有何作用？

提示：由tan α＝可知，正切可以化为正弦和余弦；反过来看，即由＝tan α可知，由正弦和余弦可化为正切．

(2)三角函数式可以用tan α来表示吗？

提示：可以，的分子和分母同时除以cos α可得＝.

(3)三角函数式和sinαcos α如何用tan α来表示？

提示：的分子和分母同时除以cos2α可得＝；

把sinαcos α看作分母为1的分式，则sin αcos α＝＝.

[解]　(1)法一：原式＝＝＝－2.

法二：原式＝＝＝－2.

(2)法一：原式＝＝＝＝1.

法二：原式＝

＝＝＝1.

法三：原式＝4(2cosα)2－3×2cos α×cos α－5cos2α

＝5cos2α＝4cos2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.

知切求弦常见的有两类

1.求关于sinα、cos α的齐次式值的问题，如果cos α≠0，则可将被求式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值，从而完成被求式的求值问题．

2.若不是sin α，cos α的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，将其代入，再转化为关于tanα的表达式后求值．

2．如果tan θ＝2，则1＋sin θcos θ＝________．

　[1＋sin θcos θ＝

＝＝＝.]

类型3　三角函数式的化简与证明

【例3】　(1)化简：sin2αtanα＋＋2sin αcos α.

(2)(教材北师版P141例6改编)求证：－＝.

[解]　(1)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α＝

＝

＝.

(2)证明：法一：左边＝

＝

＝

＝＝＝右边．∴原式成立．

法二：∵＝＝，

＝＝，

∴－＝.

∴原式成立．

(1)三角函数式的化简技巧

①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：

①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．

②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).

③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0).

④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

3．求证：＝.

[证明]　左边＝＝

＝＝＝右边，所以等式成立．

1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)

A．－    B．－    C．    D.

A　[因为α是第二象限角，sin α＝，

所以cos α＝－＝－.]

2．若sinα＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)

A．－    B．    C．±    D．±

A　[∵α为第二象限角，sin α＝，∴cos α＝－，tan α＝－.]

3．已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　)

A．－    B．    C．    D．－

A　[由，解得sin α＝－(因为α是第四象限角，所以sin α<0，所以sin α＝不合题意，舍去).]

4．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________．

－　[sin θcos θ＝＝＝－.]

5．已知α为第二象限角，化简tan α＝________．

－1　[因为α是第二象限角，

所以sinα＞0，cos α＜0.

故tan α＝tanα＝tanα＝·＝·＝－1.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.同角三角函数间的关系中“同角”的含义是什么？已知α的一个三角函数值求其它三角函数值时应注意什么问题？

[提示]　(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．

(2)已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．

2.计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧有哪些？

[提示]　计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：

(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．

(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．

(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系．

更多三角函数及关系式

除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的其他三角函数．

事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r＞0，此时

(1)称为α的正割，记作secα，即

sec α＝；

(2)称为α的余割，记作csc α，即

csc α＝；

(3)称为α的余切，记作cot α，即

cot α＝.

由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义；

同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的同学自己探讨．

正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即

sec α＝，

csc α＝，

cot α＝.

另外，由于

tan2α＋1＝＋1

＝

＝＝sec2α，

因此

tan2α＋1＝sec2α.

类似地，还能得到

cot2α＋1＝csc2α.

习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即

cosαsec α＝1，

sin αcsc α＝1，

tan αcot α＝1.

每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．

你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！