2021_2022学年新教材高中数学第5章复数§3复数的三角表示学案含解析北师大版必修第二册

第5章 复数

*§3　复数的三角表示

知识点1　复数的三角形式

(1)复数的模和辐角：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模，且r＝．以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角．

(2)复数的三角形式：任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．

(3)辐角的主值：将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg_z<2π．

(4)非零复数的相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

1.复数的模和辐角主值是唯一确定的吗？

提示：0的模是唯一确定的，辐角主值是任意的，非零复数的模和辐角主值都是唯一确定的．

2．纯虚数的辐角主值是什么？

提示：设纯虚数为bi(b≠0)，当b>0时，arg(bi)＝；当b<0时，arg(bi)＝.

知识点2　复数三角形式的乘法

(1)定义：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin_(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和．

(2)复数乘法的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2＜0，就要把OZ1绕原点O按顺时针方向旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1，z2的乘积．

1.设z1＝2(cos ＋isin )，z2＝3(cos ＋isin )，则z1·z2＝(　　)

A．6    B．－6    C．6i    D．－6i

B　[z1·z2＝2·3 ＝6＝－6.]

知识点3　复数三角形式的除法

设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝[cos_(θ1－θ2)＋isin_(θ1－θ2)]．

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数2是三角形式． (　　)

(2)arg(2＋2i)＝.  (　　)

(3)复数3的模为3. (　　)

[提示]　(1)错误．复数2不是三角形式，其三角形式应为2.

(2)正确．

(3)错误．复数3的模为3.

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

类型1　复数代数形式和三角形式的互化

【例1】　(教材北师版P180例1改编)请将下列复数表示为三角形式(辐角取主值)：

(1)2；(2)－3i; (3)－i；(4)－＋i.

[解]　(1)2＝2(cos 0＋isin 0)；

(2)－3i＝3；

(3)－i＝；

(4)－＋i＝2.

把复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式的步骤

(1)求模r＝；

(2)求复数的辐角主值θ，cos θ＝；

(3)把复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos θ＋isin θ).

1．将下列复数表示为三角形式(辐角取主值)：

(1)4i；(2)＋i；(3)－3－3i.

[解]　(1)4i＝4；

(2)＋i＝2；

(3)－3－3i＝3.

类型2　复数三角形式的乘法

【例2】　计算下列各式的值：

(1)2·3；

(2)(cos 15°＋isin 15°)·4(cos 135°－isin 135°)；

(3)2(sin 77°＋icos 77°)·(－cos 43°＋isin 43°)；

(4)[(cos 15°＋isin 15°)]8.

[解]　(1)2·3

＝6

＝6＝3＋3i.

(2)(cos 15°＋isin 15°)·4(cos 135°－isin 135°)

＝(cos 15°＋isin 15°)·4[cos (－135°)＋isin (－135°)]

＝2[cos (－120°)＋isin (－120°)]＝－1－i.

(3)2(sin 77°＋icos 77°)·(－cos 43°＋isin 43°)

＝2(cos 13°＋isin 13°)·(cos 137°＋isin 137°)

＝(cos 150°＋isin 150°)

＝－＋i.

(4)[(cos 15°＋isin 15°)]8＝16(cos 120°＋isin 120°)＝－8＋8i.

(1)复数三角形式的乘法法则成立的前提条件是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式，然后再运算．

(2)复数三角形式的乘法法则可以推广到n个复数相乘的形式，

即：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，…，zn＝rn(cos θn＋isin θn)，

则z1·z2·…·zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn＋isin θn),＝r1r2…rn[cos (θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin (θ1＋θ2＋…＋θn)].

2．计算下列各式的值：

(1)8·2；

(2)8(cos 240°＋isin 240°)·(cos 150°＋isin 150°)；

(3)3(cos 18°＋isin 18°)·2(cos 54°＋isin 54°)·

5(cos 108°＋isin 108°).

[解]　(1)8·2＝16

＝16＝8＋8i.

(2)8(cos 240°＋isin 240°)·(cos 150°＋isin 150°)

＝4[cos (240°＋150°)＋isin (240°＋150°)]

＝4(cos 390°＋isin 390°)＝2＋2i.

(3)3(cos 18°＋isin 18°)·2(cos 54°＋isin 54°)·

5(cos 108°＋isin 108°)

＝30[cos (18°＋54°＋108°)＋isin (18°＋54°＋108°)]

＝30(cos 180°＋isin 180°)＝－30.

类型3　复数三角形式的除法

【例3】　计算下列各式的值：

(1)12÷6；

(2)3(cos 270°＋isin 270°)÷[cos (－90°)＋isin (－90°)]；

(3).

1．复数的除法法则是什么？

[提示]　设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)].

2．设z1＝r1(cos θ1－isin θ1)，z2＝r2(cos θ2－isin θ2)，且z2≠0，那么＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)]，正确吗？

[提示]　不正确．把两个复数都化成三角形式可得z1＝r1[cos (－θ1)＋isin (－θ1)]，z2＝r2[cos (－θ2)＋isin (－θ2)]，所以＝＝[cos (θ2－θ1)＋isin (θ2－θ1)].

[解]　(1)12÷6

＝2

＝2

＝－－i.

(2)3(cos 270°＋isin 270°)÷[cos (－90°)＋isin (－90°)]

＝9[cos (270°＋90°)＋isin (270°＋90°)]＝9(cos 360°＋isin 360°)＝9.

(3)＝×＝×＝×[cos (－2π)＋isin (－2π)]＝.

(1)复数三角形式的除法法则成立的前提条件是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式，然后再运算．

(2)复数三角形式的乘法和除法运算的最终结果都要化为代数形式，即化为a＋bi(a，b∈R)的形式．

3．计算下列各式的值

(1)6÷2；

(2)8÷2；

(3).

[解]　(1)6÷2

＝3

＝3＝3i.

(2)8÷2

＝4

＝4＝4i.

(3)

＝

＝

＝cos 2π＋isin 2π

＝1.

1．复数1＋i的辐角主值为(　　)

A.     B．    C．    D. π

A　[因为1＋i＝，所以arg(1＋i)＝.]

2．把复数－2化为三角形式为(　　)

A. 2(cos π＋isin π)   B．－2(cos π＋isin π)

C. 2  D. －2

A　[因为－2＝2(cos π＋isin π)，故选A.]

3．若|z|＝2 ，arg z＝，则z＝________．

1＋i　[z＝2＝1＋i.]

4．把复数－1＋i化为三角形式是________．

　[－1＋i＝.]

5．设z1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z2＝4(cos 90°＋isin 90°)，则z1·z2＝________＝________．

－4＋4i　－i　[(1)z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·4(cos 90°＋isin 90°)＝8(cos 150°＋isin 150°)＝－4＋4i.

(2)＝＝([cos (－30°)＋isin (－30°)]＝－i.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何将复数的代数形式化为复数的三角形式

[提示]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝．

2.如何进行复数三角形式的乘除法的运算？

[提示]　设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]， [cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)].