2021_2022学年新教材高中数学第5章复数章末综合提升学案含解析北师大版必修第二册

第5章 复数

类型1　复数的基本概念

处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．

(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．

【例1】　(1)设有下面四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A．p1，p3　　 B．p1，p4

C．p2，p3     D．p2，p4

(2)设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.

(1)B　[设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，

对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；

对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；

对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，

则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，

∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，∴p3不是真命题；

对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．]

(2)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z＋＝(x＋yi)＋＝＋i.

∵z＋∈R，∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1.

又∵z－＝＋yi是纯虚数，∴x－＝0且y≠0.

∴x＝，y＝±，因此复数z＝±i.

1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(　　)

A．0     B．－1

C．1     D．－2

(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)

A．4     B．－1

C．6     D．－1或6

(1)A　(2)B　[(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.

(2)由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1，故选B.]

类型2　复数的几何意义

在复平面内确定复数对应点的步骤

(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b).

(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b).

【例2】　(1)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

(2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．1     B．

C．     D．2

(1)A　(2)B　[(1)z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，

其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，由得

此时无解．故复数在复平面内对应的点不可能位于第一象限．

(2)∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.

又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]

2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．

(－，－2)∪(2，)　[由已知得∴4<k2<6. ∴－<k<－2或2<k<.]

类型3　复数的四则运算

复数四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用．

复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化．

在运算过程中常用的公式有：

(1)i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).

(2)(1±i)2＝±2i.

(3)＝－1.

【例3】　(1)若z＝1＋2i，则＝(　　)

A．1    B．－1

C．i     D．－i

(2)计算(2＋i15)－＝________．

(1)C　(2)2　[(1)因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.

(2)(2＋i15)－＝(2－i)－＝2－i－i11＝2－i－(－i)＝2.]

3．(1)定义新运算＝ad－bc，则满足＝4＋2i的复数z是(　　)

A．1－3i     B．1＋3i

C．3＋i     D．3－i

(2)i是虚数单位，＋＝________．

(1)D　(2)－2　[(1)＝zi＋z＝4＋2i，∴z＝＝＝3－i.

(2)原式＝＋＝＋i6＝i1010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝i2＋i2＝－2.]

1．(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　)

A．1＋2i     B．－2＋i

C．1－2i     D．－2－i

B　[由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.]

2．(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2

D　[法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D.

法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.]

3．(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是(　　)

A．－    B．－    C．    D．

D　[＝＝＝＋i，所以虚部为.]

4．(2020·新高考全国Ⅰ卷)＝(　　)

A．1　　　　 B．－1　　　　 C．i　　　　 D．－i

D　[法一：＝＝＝－i，选D.

法二：利用i2＝－1进行替换，则＝＝＝＝－i，选D.]

5．(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　)

A．1　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－2

C　[因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.]

6．(2020·上海卷)已知复数z满足z＝1－2i(i为虚数单位)，则|z|＝________．

[答案]