高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.2 排列与排列数导学案及答案

第2课时　排列数的应用

知识点

1．解简单的排列应用题的基本思想

2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m个对象的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．

[基础自测]

1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．

2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．

3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．

4．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．

题型一　无限制条件的排列问题

例1　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．

方法归纳

1．没有限制的排列问题，即对所排列的对象或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清对象和位置即可．

2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．跟踪训练1　(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．

(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．

题型二　排队问题(“在”与“不在”“邻”与“不邻”“ 定序”问题)

例2　7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？

(1)老师甲必须站在中间或两端；

(2)2名女生必须相邻而站；

(3)4名男生互不相邻；

(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．

　解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的对象影响另一个位子的对象个数时，应分类讨论．

方法归纳

解决排队问题时应注意的问题

1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的对象作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．

2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的对象，再将不相邻的对象以插空的方式排入．

3．对于顺序给定的对象的排列问题只需考虑其余对象的排列即可．

4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从对象入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．跟踪训练2　(1)3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．

①甲不站中间，也不站两端；

②甲、乙两人必须站两端．

(2)6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)

A．36   B．120

C．720  D．240

(3)要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)

A．1 440种  B．960种

C．720种    D．480种

题型三　数字排列问题

　1.偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？

[提示]　偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．

2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?

[提示]　在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从对象0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．

3．如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？

[提示]　先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．

例3　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的．

(1)六位奇数？

(2)个位数字不是5的六位数？

　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊对象或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．

方法归纳

解排数字问题常见的解题方法

1．“两优先排法”：特殊对象优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．

2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．

3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．

4．“位置分析法”：选排列问题按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．跟踪训练3　用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．

(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？

(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？

教材反思

第2课时　排列数的应用

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．

答案：48

2．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．

答案：24

3．解析：翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．

答案：240

4．解析：先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．

答案：144

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同对象中任取3个对象的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．

(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．

跟踪训练1　解析：(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.

(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法．

答案：(1)720　(2)60

例2　【解析】　(1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2 160(种)．

(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一个对象与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1 440(种)．

(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)．

(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．

跟踪训练2　解析：(1)①分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2 880种不同站法．

②甲、乙为特殊对象，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法．

(2)由于6人排两排，没有什么特殊要求的对象，故排法种数为A＝720.

(3)从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．

答案：(1)见解析　(2)C　(3)B

例3　【解析】　(1)方法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．

方法二：从特殊对象入手(直接法)

0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的对象做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．

方法三：排除法

6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．

(2)方法一：排除法

0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．

故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．

方法二：直接法

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：

第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．

第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．

故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．

跟踪训练3　解析：(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A·A个．故满足条件的五位数的个数共有A＋A·A＝216(个)．

(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：

第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A·A个；

第二类，形如14□□，15□□，共有A·A个；

第三类，形如134□，135□，共有A·A个．

由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．

(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．