高中沪教版13.4复数的乘法与除法导学案

13.6（2）实系数一元二次方程

　一、教学内容分析

本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.

课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.

二、教学目标设计

进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.

三、教学重点及难点

对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.

四、教学用具准备

电脑、实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）复习旧知

上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.

1.实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：

（1）当时，原方程有两个不相等的实数根

；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根

；

（3）当时，原方程有一对共轭虚根

，.

2、二次三项式在复数范围内分解因式：

.

3、实系数一元二次方程的韦达定理：

，.

特别地，当时，为一对共轭虚根，即，∴，.

[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“，”可以让学生在老师的引导下发现.

（二）巩固练习

1.已知1-i是实系数一元二次方程的一个根，则=         .

2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为                   .

3.在复数集中分解因式：=                      .

4.若方程有虚数根z，则|z|=         .

参考答案：

1. -4

2. 和

3.

4.

（三）例题精析

例1、已知方程的两根为、，若，求实数p的值.

分析：要求实数p的值，即要利用已知条件，从而应考虑、为实根还是虚根，因此，应对和讨论.

解：（见课本P92例3）

[说明]对于△<0的情形，也可考虑设，

则，由得，

又由，得，所以.

设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？

设问②：我们知道：当、为实数时，

，而当、为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.

[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.

因为当z为虚数时，,所以当、为虚数时，上式

不成立.可以适当修改为

    (*)

该结论显然成立.

设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？

因为，

所以或.

[说明]在已知的值时，利用结论(*)可以避免对与的讨论.

设问④：本例删除已知条件“”后，请用m来表示.

    将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题.

例2、已知关于x的方程的两根为、，且，求实数a的值.

解：.

当，即时，、为实数，且

，

所以，又，所以.

当，即时，、为一对共轭虚数，所以

得，所以，所以得或，

因为，所以.   故或.

[说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.

（2）提醒学生注意：对与的讨论.

（3）例2删除已知条件“”后，也可用a来表示.

例3、已知关于x的方程有实数根，求实数a的值.

解：设x0是原方程的两个根，则，即

，所以，

解该方程组得或.

[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a的值后，解该方程.

（四）课堂练习

1.若、是方程的两个根，则=         .

2.见课本P93练习13.6（2）T4.

[说明] 练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.

（五）课堂小结

本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用，.

注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对与（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：，可以避免分类讨论.

（六）课后作业

1．书面作业：练习册P55 习题13．6  A组 T6.8.

P57 习题13．6  B组 T4.5.

2．思考题：（补充题及备选题）

（1）若方程有一个虚根的模为，则实数a的值为           .

（2）已知关于x的方程的两根为、，求.

（3）已知关于x的方程有实根，求实数k的值，并解方程.

参考答案：（1）9

（2）

         （3）当时，原方程的两根为；

              当时，原方程的两根为.

[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．