人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系学案

课   题

平面的基本性质与推论

课型

新课

主备人

上课教师

上课时间

45 分钟

学习目标

1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

教学重点

平面的基本性质与推论以及它们的应用

教学难点

自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用

教师准备

多媒体教学

教学过程

集备修正

（一）平面的基本性质与推论

1. 平面的基本性质

（1）关于公理1

①三种数学语言表述：

文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述：如图1所示

图1

符号语言表述：

    ②内容剖析：

公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。

（2）关于公理2

①公理2的三种数学语言表述：

文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述：如图2所示

图2

符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.

②内容剖析：

公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。

公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。

③公理2的作用：

作用一是确定平面；

作用二是可用其证明点、线共面问题。

（3）关于公理3

①公理3的三种数学语言表述：

文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述：如图3所示。

图3

符号语言表述：

②公理3的剖析：

公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。

③公理3的作用：

其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。

2. 平面的基本性质的推论

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

请同学们想一想：

三个推论的图形语言如何表示呢？

三个推论的符号语言如何表述呢？

三个推论有何作用呢？

推论2的证明

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

已知：直线

求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。

【证明】（1）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α（公理2）。

图4

又（公理1）

平面α是过相交直线a，b的平面。

（2）如果过直线a和b还有另一平面β，那么A,B,C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 α、β了，这与公理3矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。

综上知，过直线a、b有且只有一个平面。

3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质

（1）点与平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈α；点A不在α内，记作；

（2）直线与平面的位置关系：直线 m 在平面α内，记作 ;直线 m 不在平面α内，记作；

（3）平面α与平面 β相交于直线a，记作 ；

（4）直线 m 和 n 相交于点A，记作。

4. 学习时应注意的几个问题

学习本节课要注意正确的作图，恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力．在平面几何中，辅助线一般要画成虚线，而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关，这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯，必须熟练掌握空间图形的直观图的画法—斜二测画法。

要注意重视几何语言的训练和书写，尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。

5. 几种常见题型的解法

（1）证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。

（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。

（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。