高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系学案设计

                平面的基本性质

教学目标

1、知识与能力：

（1）巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论．

（2）能使用公理和推论进行解题．

2、过程与方法：

（1）体验在空间确定一个平面的过程与方法；

（2）掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：

培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。

教学重点

平面的三条基本性质即三条推论．

教学难点

准确运用三条公理和推论解题．

教学过程

一、问题情境

问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？

问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？

二、温故知新

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1

 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2

 经过两条相交直线，有且只有一个平面．

．

推论3

  经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理 4（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行．

把以上各公理及推论进行对比：

三、数学运用

基础训练：（1）已知：；求证：直线AD、BD、CD共面．

证明：

——公理3推论1

——公理1

同理可证，,

直线AD、BD、CD共面

【解题反思1】1。逻辑要严谨

2．书写要规范

3．证明共面的步骤：

（1）确定平面——公理3及其3个推论

（2）证线“归” 面（线在面内如：）——公理1

（3）作出结论。

变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面？（口答）

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？（口答）

（2）已知直线满足：；求证：直线

  证明：

——公理3推论3

——公理1

直线共面

提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内．

思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。

 证明：

——公理3推论3

——公理3推论3

——公理1

 因此，平面同时经过两条相交直线

所以平面重合。——公理3推论2

直线共面

上面方法称为同一法

拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3；求证：EF、GH、BD交于一点．[渗透空间问题平面化思想]

思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上，因此证得三线共点。

证法1：连接，

因 E、G分别是BC、AB的中点，故

因DF:FC=DH:HA=2:3,故

——公理4

共面，由上知，相交，设交点为O,则平面,平面,

所以直线

所以EF、GH、BD交于一点。

思路2：首先证明直线 GH、BD交于一点P,直线EF 、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。

证法法2：提示：过点H作HO,使得,交点为O，连接OF，证明,

延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ.所以点P、Q重合。

链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状．

【解题反思2】1。逻辑要严谨

2．书写要规范

3．方法要掌握

（1）证明共面的步骤：

1）确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论

2）证线“归” 面（线在面内如：）——公理1

3）作出结论。

（2）证明共线的步骤：

①证所有点在第一个面内（如平面）——公理1

②证所有点在第二个面内（如平面） ——公理1

③结论1：所有点在两个平面的交线上

④结论2：所有点共线——公理2

（3）证明共点的步骤：

1）证交于一个点——公理3及3个推论

2）证此点在二个面内（如平面） ——公理1

3）结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2

4）结论2：三条线共点     

四、回顾小结

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．

五、课外作业(见所发的前置作业)

反馈练习

                           班级       姓名         等级        

（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[ 1.2.1  平面的基本性质（2）]

1、经过同一直线上的3个点的平面（   ）

A、有且只有1个    B、有且只有3个    C、有无数个    D、有0个

2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（   ）

A、1或2       B、2或3        C、1或3        D、1或2或3

3、与空间四点距离相等的平面共有（   ）

A、3个或7个     B、4个或10个     C、4个或无数个    D、7个或无数个

4、四条平行直线最多可以确定（   ）

A、三个平面    B、四个平面    C、五个平面    D、六个平面

5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有          个．

6、给出以下四个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线；

②若直线l上有一点在平面外，则l在外；

③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面；

④两两相交的三条直线共面．

其中所有正确的命题的序号是            ．

7．点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为（      ）

A．    B．    C．    D．

8．下列推理，错误的是（      ）

A．

B．

C．

D．

9．下面是四个命题的叙述语（其中A、B表示点，表示直线，表示平面）

①  ②

③     ④

其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．

10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面．

11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．

已知：直线、、且，，；

求证：直线、、共面．

12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

①AA1与CC1能否确定一个平面？为什么？

②点B、C1、D能否确定一个平面？为什么？

③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线．

13、两两相交且不共点的四条直线共面．（注：有两种情形，见图，试分别证之）