高中数学苏教版必修43.2 二倍角的三角函数学案

1．已知α的终边过点P(4，－3)，则下面各式中正确的是________．(只填序号)

①sinα＝；②cosα＝－；③tanα＝－；④tanα＝－.

解析：易知x＝4，y＝－3，r＝5，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

答案：③

2．对三角函数线，下列说法正确的是________．

①对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线；

②有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在；

③任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在；

④任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在．

答案：④

3．设θ是三角形的内角且θ≠，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号)

①tanθ与cosθ；②cosθ与sinθ；③sinθ与tanθ；④tan与sinθ；

解析：∵θ是三角形的内角且θ≠，∴0＜θ＜π且θ≠，∴sinθ＞0，tan＞0.

答案：④

4．已知cosα＝－，且α是第二象限角，则tanα＝________.

解析：∵cosα＝－，

∴sinα＝±＝±.

又∵α又是第二象限角，

∴sinα＞0，∴sinα＝，

∴tanα＝＝－.

答案：－

一、填空题

1．下列说法中，正确的个数为________．

①终边相同的角的同名三角函数值相等；

②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；

③若sinα＞0，则α是第一、二象限角；

④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cosα＝ .

解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y轴的非负半轴重合时，sinα＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cosα＝，故④也是不正确的．因此只有2个正确．

答案：2

2．用不等号(＞或＜)填空：

(1)sin·cos·tan________0；

(2)________0.

解析：(1)∵在第二象限，在第三象限，在第四象限，

∴sin＞0，cos＜0，tan＜0.

∴sin·cos·tan＞0.

(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限，

∴tan100°＜0，sin200°＜0，cos300°＞0，

∴＞0.

答案：(1)＞　(2)＞

3．若A是第三象限角，且|sin|＝－sin，则是第________象限角．

解析：∵A是第三象限角，∴2kπ＋π＜A＜2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，∴是第二、四象限角．

又∵|sin|＝－sin，∴sin＜0，∴是第四象限角．

答案：四

4．已知MP，OM，AT分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)

①MP＜OM＜AT；②OM＜MP＜AT；③AT＜OM＜MP；④OM＜AT＜MP.

解析：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝.

答案：②

5．若0＜x＜，则下列命题中正确的是______．(只填序号)

①sinx＜x；②sinx＞x；③sinx＜x2；④sinx＞x2.

解析：令x＝，则sin＝，·x＝，·x2＝.故④正确．

答案：④

6．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在________象限．

解析：∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0，∴角α的终边在第二象限．

答案：第二

7．若sinαcosα＜0，则函数y＝＋＋的值域为________．

解析：由sinαcosα＜0，知α在第二象限或第四象限．

当α在第二象限时，

sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，则：y＝－1；

当α在第四象限时，

sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，则：y＝－1.

综上可得，值域为{－1}．

答案：{－1}

8．已知点P(1，y)是角α的终边上的一点，且cosα＝，则y＝________.

解析：由三角函数定义知：cosα＝，

∴＝，∴y＝±.

答案：±

二、解答题

9．判断下列各式的符号：

(1)α是第四象限角，sinα·tanα；

(2)sin3·cos4·tan(－)．

解：(1)∵α是第四象限角，

∴sinα＜0，tanα＜0，∴sinα·tanα＞0.

(2)∵＜3＜π，π＜4＜，∴sin3＞0，cos4＜0.

∵－＝－6π＋，∴tan(－)＞0，

∴sin3·cos4·tan(－π)＜0.

10．已知角α的终边与函数y＝x的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．

解：函数y＝x的图象是过原点和一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．当α的终边在第一象限时，在终边上取点P(2,3)，则r＝＝，于是sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝；当α的终边在第三象限时，在终边上取点P′(－2，－3)，则r′＝＝，于是sinα＝－＝－，cosα＝－＝－，tanα＝＝.

11．求证：当α∈(0，)时，sinα＜α＜tanα.

证明：

如图，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则：

在Rt△POM中，sinα＝MP；

在Rt△AOT中，tanα＝AT；

又根据弧度制的定义，有＝α·OP＝α，

易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，

即OA·MP＜·OA＜OA·AT，

可得sinα＜α＜tanα.

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