高中数学苏教版必修43.2 二倍角的三角函数学案

第七课时  平面向量的坐标运算（一）

教学目标：

理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法.

教学重点：

平面向量的坐标运算.

教学难点：

理解向量坐标化的意义.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.

我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x，y)来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x，y)来表示.

Ⅱ.讲授新课

1.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立.

2.平面向量的坐标运算

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2).

即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.

3.实数与向量积的坐标表示

若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λ y)

4.向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a∥b存在实数λ，使a＝λb.

∴(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λ y2)，

∴x1＝λx2，y1＝λy2.

消去λ得：x1y2－x2y1＝0，

∴a∥bx1y2－x2y1＝0.(b≠0)

［例1］已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，

(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.

解：∵a＝(1，1)，b＝(x，1)，∴u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)

v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)

(1)u＝3v(2x＋1，3)＝3(2－x，1)

(2x＋1，3)＝(6－3x，3)

∴2x＋1＝6－3x，解得x＝1

(2)u∥v(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)

(2x＋1)－3(2－x)＝0x＝1

评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应要求学生引起重视.

［例2］平行四边形ABCD的对角线交于点O，且知＝(3，7)，＝(－2，1)，求坐标.

分析：要求得的坐标，只要求得的坐标即可.

解：由＝(3，7)，＝(－2，1)，

可有＝－＝(－2，1)－(3，7)＝(－5，－6)

∴＝＝ (－5，－6)＝(－，－3)

评述：向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系.

［例3］下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是(    )

(1)e1＝(－1，2)，e2＝(5，7);           (2)e1＝(3，5)，e2＝(6，10);

(3)e1＝(2，－3)，e2＝(，－).

A.(1)   B.(1)(3)            C.(2)(3)      D.(1)(2)(3)

解：(1)∵－1×7≠2×5

∴e1e2故e1、e2可作为基底.

(2)∵3×10=5×6.

∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底.

(3)∵2×(－)=－3×.

∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底.             故选A

评述：本题考查基底的概念，及两向量平行的充要条件的坐标形式.

Ⅲ.课堂练习

课本P74练习1，2，3，4，5，6

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.

Ⅴ.课后作业

课本P76习题  1，2，3，4