数学必修4第3章 三角恒等变换3.2 二倍角的三角函数学案及答案

第八课时  平面向量的坐标运算（二）

教学目标：

掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.

教学重点：

平面向量的坐标运算.

教学难点：

平面向量的坐标运算.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

平面向量的坐标运算法则.

Ⅱ.讲授新课

［例1］已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么与是否共线?线段AB与线段AC是否共线?

解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，

＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0，

∴∥，∴与共线.

又直线AB与直线AC显然有公共点A，

∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线.

综上，与共线，线段AB与线段AC也共线.

［例2］已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标.

对此题，课本是利用向量相等(即＝)来求解的，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法.

解法一：(利用向量加法)

先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝＋.

∵＝，∴＝＋

∴(x，y)＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3)

＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2)

∴顶点D的坐标为(2，2).

解法二：(利用向量减法)

先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝－

∵＝，∴＝－，

∴(x，y)＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)

＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)

∴顶点D的坐标为(2，2).

解法三：(利用中点的向量表达式)

如图，在ABCD中，AC的中点M即是BD的中点.

∵＝ (＋)＝ (＋)，

＋＝＋，

＝＋－

＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2).

∴顶点D的坐标为(2，2).

解法四：(利用中点坐标公式)

如图，在ABCD中，AC的中点即为BD的中点，设点D的坐标为(x，y)，则

.   解得x＝2，y＝2.

∴顶点D的坐标为(2，2).

解法五：(利用平面内两点间的距离公式)

如图，设点D的坐标为(x，y).

在ABCD中，｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，

有

解得，.

经检验是方程组的解.

∴顶点D的坐标为(2，2).

解法六：(利用平行四边形对边的向量相等)

如上图，设顶点D的坐标为(x，y)，

在ABCD中， ＝， ＝(x＋2，y－1)，

＝(4，1)，(x＋2，y－1)＝(4，1)，

即，   解得x＝2，y＝2，

∴顶点D的坐标为(2，2).

［例3］在△OAB中，＝a，＝b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成的比为3∶1，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.

解：＝＋＝＋

＝＋ (－)＝＋

＝a＋b

∵与共线，设＝a＋b          ①

又∵与共线，设＝s，

∴＝＋＝＋s＝＋s(－)

＝(1－s) ＋s＝ (1－s) ＋s

＝ (1－s)a＋sb               ②

由①②知       ∴t＝，＝a＋b

［例4］向量b＝(－3，1)，c＝(2，1)，若向量a与c共线，求｜b＋a｜的最小值.

解：设a＝λc＝(2λ，λ)，

则b＋a＝(－3＋2λ，1＋λ)，

∴｜b＋a｜＝＝

＝≥

∴｜b＋a｜的最小值为，此时a＝c.

［例5］已知b的方向与a＝(－3，4)的方向相同，且｜b｜＝15，求b.

解：设a的单位向量为e，

则e＝＝(－，);     ∵b与a方向相同

∴b＝｜b｜·e＝15·(－，)＝(－9，12)

∴b＝(－9，12).

Ⅲ.课堂练习

课本P76练习1，2，3

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.

Ⅴ.课后作业

课本P77习题  5，6，7，8

平面向量的坐标运算

1．已知a＝（－1，3），b＝（x，1），且a∥b，则x等于                        （    ）

A.3    B.                 C.－3      D.－     

2．已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），则x、y的值为               （    ）

A.x＝－1，y＝0                           B.x＝1，y＝10

C.x＝1，y＝－10                          D.x＝－1，y＝－10              

3．已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，则P点的坐标为             （    ）

A.（－8，1）   B.（－1，－）         C.（1，）   D.（8，－1）

4．若a－b＝（1，2），a＋b＝(4，－10），则a等于                           （    ）

A.（－2，－2）    B.（2，2）          C.（－2，2）   D.（2，－2）

5．若向量a＝（－1，x)，b＝(－x，2）共线且方向相同，则x＝        .  

6．已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）若A、B、C三点共线，则k＝        .

7．已知|a|＝2，b＝(－1，），且a∥b，则a＝                     .

8．已知作用于坐标原点的三个力F1（3，4），F2（2，－5），F3（3，1），求作用于原点的合力F1＋F2＋F3的坐标.

9．设A、B、C、D四点坐标分别为（－1，0），（0，2），（2，），（，），求证：ABCD为梯形.

10．已知A（2，3），B（－1，5），满足＝，＝3，＝－，求C、D、E三点坐标.

平面向量的坐标运算答案

1．D  2．B  3．B  4．D  5．  6．11或－2   7．（－，3）或（，－3）

8．解：由F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0）

9．证明：∵＝（1，2），＝（，1）＝

∴∥，且||＝2||

∴四边形ABCD为梯形.

10．解：由A（2，3），B（－1，5）得＝（－3，2）

∴＝＝（－1，）    ∴C（1，）

＝3＝（－9，6）    ∴D（－7，9）

又∵＝－＝（，－）    ∴E（，）