2021学年3.2 二倍角的三角函数学案

第九课时  二倍角的正弦、余弦、正切(三)

教学目标：

灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.

教学重点：

和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.

教学难点：

二倍角公式的变形式的灵活应用.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.

先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积

S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2

当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S

不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.

Ⅱ.讲授新课

［例1］求证sin2＝

分析：此等式中的α可作为的2倍.

证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得

cosα＝1－2sin2          ∴sin2＝

请同学们试证以下两式:

(1)cos2＝             (2)tan2＝

证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，

即得cosα＝2cos2－1，  ∴cos2＝

(2)由tan2＝   sin2＝   cos2＝

得tan2＝

这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：

(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；

(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).

这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.

另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.

下面，再来看一例子.

［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］

分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.

证明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ       ①

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ             ②

①＋②得：

sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ

即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］

请同学们试证下面三式：

(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］

(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］

(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］

证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ       ①

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ          ②

①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ

即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］

(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ         ①

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ              ②

①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ

即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］

(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ         ①

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ              ②

①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ

即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］

不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.

和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.

［例3］求证sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替， ＝－

证明：左式＝sinθ＋sin

＝sin［＋］＋sin［－］

＝sincos＋cossin＋sincos－cossin

＝2sincos＝右边

请同学们再证下面三式.

(1)sinθ－sin＝2cos·sin；

(2)cosθ＋cos＝2cos·cos；

(3)cosθ－cos＝－2sin·sin.

证明：(1)令θ＝＋，＝－

则左边＝sinθ－sin

＝sin［＋］－sin［－］

＝sincos＋cossin－sincos＋cossin

＝2cossin＝右边

(2)左边＝cosθ＋cos

＝cos［＋］＋cos［－］

＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin

＝2coscos＝右边

(3)左边＝cosθ－cos

＝cos［＋］－cos［－］

＝coscos－sinsin－coscos－sinsin

＝－2sinsin＝右边.

这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.

Ⅲ.课堂练习

1.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝

证法一：由已知得3sin2α＝cos2β        ①

3sin2α＝2sin2β               ②

①÷②得tanα＝＝＝tan（－2β）

∵α、β为锐角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，

∴－＜－2β＜

∴α＝－2β，α＋2β＝

证法二：由已知可得：

3sin2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β

∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β

＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0

又由α＋2β∈(0，)

∴α＋2β＝

证法三：由已知可得

∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β

＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα

又由②，得3sinα·cosα＝sin2β    ③

①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1

∴sinα＝，即sin(α＋2β)＝1

又0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝

评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.

2.在△ABC中，sinA是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tanB＋tanC的值.

(2)证明tanB＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)

(1)解：△ABC中，sinA＝sin(B＋C)

∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)

∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC

∵cosBcosC≠0  ∴tanB＋tanC＝1

(2)证明：又由上：tanβ＝1－tanC

＝(1＋tanC)· ＝(1＋tanC)·tan(45°－C)＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)

Ⅳ.课时小结

通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.

Ⅴ.课后作业

课本P111习题  7、8、10.

二倍角的正弦、余弦、正切

1．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos等于                          （    ）

A.      B.－            C.            D.－    

2．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是                                            （    ）

A.          B.                 C.       D.    

3．已知f(sinx)＝cos2x，则f(x)等于                                           （    ）

A.2x2－1     B.1－2x2                     C.2x    D.－2x   

4．设sinα∶sin＝8∶5，则cosα等于                                        （    ）

A.      B.               C.       D.1        

5．（sin＋cos)(sin－cos)＝         .

6．化简cos(－α)·cos（＋α)＝         .

7．sin2－＝         .

8．＝         .

9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).

10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.

11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).

二倍角的正弦、余弦、正切答案

1．D  2．A  3．B  4．B  5．－  6．cos2α  7．－  8．

9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).

解：由α∈(0， )得sinα＝＝，cosα＝

∵β∈(π， )，

∴cosβ＝－＝－

代入cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×(－)－×(－)＝－

10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.

两式平方相加，得1＋1＋2（cosα·cosβ＋sinαsinβ)＝＋＝

∴cos(α－β)＝－，cos2＝＝＝

∴cos＝±

11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).

∵－＜α＜，∴＜α＋＜π

∴cos(α＋)＝－＝－

∵＜β＜，∴－＜－β＜0

∴sin(－β)＝－＝－

∴cos(α－β)＝－cos［(α＋)＋(－β)］

＝sin(α＋)sin(－β)－cos(α＋)·cos(－β)＝×(－)－(－)×＝.