苏教版必修4第3章 三角恒等变换3.2 二倍角的三角函数第一课时学案设计

第一课时  两角和与差的余弦

教学目标：

掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.

教学重点：

余弦的差角公式及简单应用

教学难点：

余弦的差角公式的推导

教学过程：

Ⅰ.课题导入

在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?

Ⅱ.讲授新课

接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.

设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则：

a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β）

另一方面，由向量数量积的坐标表示，有

a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ

所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ               （C（α－β））

两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?

cos ［α－（－β）］

＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β）

＝cos αcos β－sinαsinβ

即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ          （C（α＋β））

请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?

(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.

(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.

请同学们仔细观察它们各自的特点.

(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.

(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.

不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.

如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.

即：cos 15°＝cos（45°－30°）

＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°

＝·＋·＝

或：cos 15°＝cos （60°－45°）

＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°

＝·＋·＝

请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果?

cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα

即：cos（－α）＝sinα

再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.

cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α）

即：sin（－α）＝cosα

Ⅲ.课堂练习

1.求下列三角函数值

①cos （45°＋30°）②cos 105°

解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°

＝·－·＝

②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°

＝·－·＝

2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.

解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）

将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝

3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.

解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝

4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.

解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，

得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－.

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝（－）×（－）－×（－）＝

5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值.

解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－

可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝

即：2cosαcosβ＝  ①

cos（α－β）－cos（α＋β）＝1

即：2sinαsinβ＝1  ②

由②÷①得＝tanα·tanβ＝

∴tanα·tanβ的值为.

6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值.

解：由已知cosα－cosβ＝

得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝        ①

由sinα－sinβ＝－

得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝    ②

由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝

即：2－2cos（α－β）＝

∴cos（α－β）＝

Ⅳ.课时小结

两公式的推导及应用.

Ⅴ.课后作业

课本P96习题  1，2，3

两角和与差的余弦

1．下列命题中的假命题是                                                   （    ）

A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？

3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.

4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－

求：cos （α＋β）.

5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.

6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.

两角和与差的余弦答案

1．B

2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？

解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π

即：A＋B＝π－C

由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0

∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0

∴C一定为钝角

∴△ABC一定为钝角三角形.

3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.

分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.

解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组：

①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋

∴cos (α－β)＝

∵|cos (α－β)|≤1，  ∴| |≤1

解之得：－≤x≤

∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－.

4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－

求：cos （α＋β）.

解：由已知：α∈（，）

－α∈（－，－）－α∈（－，0）

又∵cos （－α）＝，   ∴sin（－α）＝－

由β∈（0，）＋β∈（，）

又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－

即sin（＋β）＝，   ∴cos（＋β）＝

又（＋β）－（－α）＝α＋β

∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］

＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）

＝×＋×（－）＝－

5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.

解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π

由cos （α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝

又∵cosα＝，∴sinα＝

∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］

＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα

＝（－）×＋×＝

评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.

6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.

分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.

解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，

又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝

若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.

∴0°＜A＜45°，即cos A＝.

∴cos C＝－cos（A＋B）＝.

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