高中数学第四章 函数应用综合与测试学案

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)

1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是         (　　)

A．(1，－4)　　　　　　　　　  B．(4，－1)

C．1，－4         D．4，－1

解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.

答案：D

2．今有一组实验数据如下表所示：

则体现这些数据关系的最佳函数模型是        (　　)

A．u＝log2t        B．u＝2t－2

C．u＝        D．u＝2t－2

解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似．

答案：C

3．储油30 m3的油桶，每分钟流出 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为                                                                                                                                                          (　　)

A．[0，＋∞)        B．[0，]

C．(－∞，40]        D．[0,40]

解析：由题意知Q＝30－t，又0≤Q≤30，即0≤30－t≤30，∴0≤t≤40.

答案：D

4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为                                                                                                                (　　)

A．2 400元        B．900元

C．300元         D．3 600元

解析：由题意得8 100×(1－)3＝2 400.

答案：A

5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是       (　　)

A．(－2，－1)       B．(－1,0)

C．(0,1)        D．(1,2)

解析：f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－3＝－<0，

f(0)＝20＋3×0＝1>0.

∵y＝2x，y＝3x均为单调增函数，

∴f(x)在(－1,0)内有一零点．

答案：B

6．若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{x|x≠0}，且函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有                                                                                                                                                                        (　　)

A．唯一一个       B．两个

C．至少两个       D．无法判断

解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则在(－∞，0)上也仅有一个零点．

答案：B

7．函数f(x)＝的零点个数为      (　　)

 A．0         B．1

C．2         D．3

解析：由f(x)＝0，得或

解之可得x＝－3或x＝e2，

故零点个数为2.

答案：C

8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费

(　　)

A．1.00元        B．0.90元

C．1.20元        D．0.80元

解析：y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x>0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.

答案：B

9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是                                                                                                                                                                                                                    (　　)

A．f(x)＝4x－1        B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex－1        D．f(x)＝ln(x－)

解析：令g(x)＝0，则4x＝－2x＋2.画出函数y1＝4x和函数y2＝－2x＋2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.

答案：A

10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是                                                                                                                                            (　　)

解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
 

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．

解析：f(x)＝x3－2x－5，

f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，

∵f(2)·f(2.5)<0，

∴下一个有根区间是(2,2.5)．

答案：(2,2.5)

12．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)当m＝0时，

由f(x)＝x－a＝0，

得x＝a，此时a∈R.

(2)当m≠0时，令f(x)＝0，

即mx2＋x－m－a＝0恒有解，

Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立，

则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，

即－1≤a≤1.

所以对m∈R，函数f(x)恒有零点，有a∈[－1,1]．

答案：[－1,1]

13．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________．

解析：从A地到B地，以60 km/h匀速行驶，x＝60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变．从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 km/h，耗时3小时，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325.

所以x＝

答案：x＝

14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

　 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．

解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．

低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．

答案：148.4

三、解答题(本大题共4小题，共50分)

15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝x，N＝(x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？

解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润

y＝M＋N＝(8－x)＋.

令＝t(0≤t≤)，则x＝t2＋1，

∴y＝(7－t2)＋t＝－(t－)2＋.

故当t＝时，可获最大利润万元．

此时，投入乙种商品的资金为万元，

甲种商品的资金为万元．

16．(12分)判断方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？

解：令f(x)＝2ln x＋x－4.

因为f(1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f(e)＝2ln e＋e－4＝e－2>0，

所以f(1)·f(e)<0.

又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，

所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)＝0在(1，e)内存在实数解．

由于函数f(x)＝2ln x＋x－4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点．

故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．

17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：

f(t)＝

销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是

g(t)＝－＋(0≤t≤100，t∈Z)．

求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？

解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)·g(t)

＝

(1)若0≤t≤40，t∈Z，则

F(t)＝(＋22)(－＋)

＝－(t－12)2＋，

当t＝12时，F(t)max＝(元)．

(2)若40<t≤100，t∈Z，则

F(t)＝(－＋52)(－＋)

＝(t－108)2－，

∵t＝108>100，

∴F(t)在(40,100]上递减，

∴当t＝41时，F(t)max＝745.5.

∵>745.5，

∴第12天的日销售额最高．

18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：

(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；

(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？

解： (1)由已知数据作图如图，

观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令

y＝kx＋b.当x＝16时，y＝42；x＝20时，y＝30.

得

由②－①得－12＝4k，

∴k＝－3，代入②得b＝90.

所以y＝－3x＋90，显然当x＝24时，y＝18；

当x＝28时，y＝6.

对照数据，可以看到y＝－3x＋90即为所求解析式；

(2)利润P＝(x－12)·(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.

∵二次函数开口向下，

∴当x＝21时，P最大为243.

即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．