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    《直线与圆》同步练习1(北师大版必修2)学案

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    2020-2021学年2.2圆的一般方程学案及答案

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    这是一份2020-2021学年2.2圆的一般方程学案及答案,共12页。
    直线与圆》变式题 1.(北师大版必修2 93 A组第1题)已知点,求直线的斜率.变式1:已知点,则直线的倾斜角是(  A.                B.               C.              D.解:故选(C).变式2:(2006年北京卷)若三点共线,则的值等于    .解:三点共线,.变式3:已知点,直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半,求直线的斜率.解:设直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为,依题意有.直线的斜率为. 2.(人教A版必修2 第111页A组第9题)求过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式1:直线轴上的截距为,在轴上的截距为,则(  A.       B.      C.      D.解:直线在轴上的截距为;令直线在轴上的截距为,故选(B).变式2:过点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是        .解:依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,直线的方程为,即.变式3:直线经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线的方程.解:依题意,直线的斜率为±1,直线的方程为,即. 3.(人教A版必修2 第124页A组第3题)求直线与坐标轴围成三角形的面积.变式1:过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是        .解:所求直线方程,依题意有(无解),解得.直线的方程.变式2:(2006年上海春季卷)已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,则OAB面积的最小值为        .解:设直线的方程为,当且仅当时取等号,时,有最小值4.变式3:已知射线和点,在射线上求一点,使直线轴围成的三角形面积最小.解:,则直线的方程为.当且仅当时取等号,为(2,8)时,三角形面积最小. 4.(北师大版必修2 117A组第10题)求过点,且与直线平行的直线的方程.变式1:(2005年全国卷)已知过点的直线与直线平行,则的值为(  A.0                 B.-8                C.2                 D.10解:依题意,解得,故选(B).变式2:与直线平行,且距离等于的直线方程是        .解:所求直线方程为,则,解得直线方程为.变式3:已知三条直线不能构成三角形,求实数的取值集合.解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故实数的取值集合是. 5.(北师大版必修2 第117A组第7题)若直线和直线垂直,求的值.变式1:(1987年上海卷)若直线与直线平行但不重合,则等于(  A.-1或2            B.-1                C.2                D.解:,解得,故选(B).变式2:(2005年北京春季卷)直线与直线相互垂直  A.充分必要条件                          B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件                      D.既不充分也不必要条件解:,知可推出,但推不出,故的充分不必要条件,故选(B).变式3:设直线与圆相交于点两点,为坐标原点,且,求的值.解:经过原点,且是圆的直径,圆心(1,-2)在直线上,. 6.(人教A版必修2 第110A组第3题)已知,求线段的垂直平分线的方程.变式1:已知关于直线的对称点为,则直线的方程是  A.   B.     C.   D. 解:依题意,直线是线段的垂直平分线.的中点为(1,1),直线的方程是,故选(B).变式2:已知圆与圆关于直线对称 ,则直线的方程是          .解:依题意得,两圆的圆心关于直线对称,故直线是线段的垂直平分线,由变式1可得直线的方程为.变式3:求点关于直线的对称点的坐标.解:.,且的中点在直线,解得. 7.(北师大版必修2 第118B组第2题)光线自点射到点轴反射,求反射光线所在直线的方程.变式1一条光线从点射出,经轴反射,与圆相切,则反射光线所在直线的方程是        .解:依题意得,点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线的方程为,即.由反射光线与圆相切得,解得反射光线所在直线的方程是,即.变式2(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后,依次反射到上的点(入射角等于反射角).的坐标为.,则的取值范围是  A.             B.            C.           D.解:用特例法,取,则分别为的中点此时.依题意,包含的选项(A)(B)(D)应排除,故选(C).变式3:已知点,在直线上求一点P,使最小.解:题意知,点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点关于直线的对称点,然后连结,则直线的交点P为所求.事实上,设点上异于P的点,则.,则,解得直线的方程为.,解得. 8.(人教A版必修2第144A组 3)求以为圆心,并且与直线相切的圆的方程.变式1:(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆相切的直线的方程为  A.                     B.C.                   D.解:设直线方程为,即.圆方程可化为圆心为(2,-1),半径为.依题意,解得直线方程为,故选(A).变式2:(2006年湖北卷)已知直线与圆相切,则的值为        .解:的圆心为(1,0),半径为1,解得.变式3:求经过,且与直线都相切的圆的方程.解:所求方程为,则解得圆的方程为. 9.(人教A版必修2 第144 A组 第5题)求直线被圆截得的弦的长.变式1:(1999年全国卷)直线得的劣弧所对的圆心角为  A.                B.               C.                D.解:依题意,弦心距,故弦长,从而OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为,故选(C).变式2:(2006年天津卷)设直线与圆相交于两点,且弦的长为,则        .解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得,解得.变式3:已知圆,直线.(1)求证:不论取什么实数,直线与圆恒交于两点;(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.解:(1)直线恒过定点,且在圆内,直线与圆恒交于两点.(2)由平面几何性质可知,过圆内的定点的直线垂直于时,直线被圆截得的弦长最小,此时直线的方程为. 10.(北师大版必修2第117A组 第14题)已知直线和圆,判断此直线与已知圆的位置关系.变式1:(2006年安徽卷)直线与圆没有公共点,则的取值范围是  A.      B.      C.      D.解:依题意,解得.,故选(A).变式2:(2006年湖北卷)若直线与圆有两个不同的交点,则的取值范围是          .解:依题意有,解得的取值范围是.变式3:直线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.解:曲线表示半圆利用数形结合法可得实数的取值范围是. 11.(北师大版必修2第101例8判断与圆的位置关系,并画出图形.变式1:(1995年全国卷)圆和圆的位置关系是  A.相离              B.外切               C.相交             D.内切解:的圆心为,半径,圆的圆心为,半径.两圆相交,故选(C).变式2:若圆与圆相切,则实数的取值集合是          .解:的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,且两圆相切,,解得实数的取值集合是.变式3:求与圆外切于点,且半径为的圆的方程.解:设所求圆的圆心为,则所求圆的方程为.两圆外切于点所求圆的方程为. 12.(人教A版必修2 第145B组第2题)已知点,点在圆上运动,求的最大值和最小值.变式1:(2006年湖南卷)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是  A.36                B.18                C.             D.解:的圆心为(2,2),半径圆心到直线的距离直线与圆相离,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是,故选(C.变式2:已知,点在圆上运动,则的最小值是        .解:,则.设圆心为,则的最小值为.变式3:已知点在圆上运动.(1)求的最大值与最小值;(2)求的最大值与最小值.解:(1)设,则表示点与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,取得最大值与最小值.,解得的最大值为,最小值为.(2)设,则表示直线轴上的截距. 该直线与圆相切时,取得最大值与最小值.,解得的最大值为,最小值为. 13.(人教A版必修2135B组第3题)已知点与两个定点的距离的比为,求点的轨迹方程.变式1:(2006四川卷)已知两定点,如果动点满足,则点的轨迹所包围的面积等于  A.                B.               C.             D.解:设点的坐标是.,得,化简得的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所求面积为,故选(B).变式2:(2004年全国卷)由动点向圆引两条切线,切点分别为=600,则动点的轨迹方程是          .解:.=600=300.,化简得动点的轨迹方程.变式3:(2003年北京春季卷)设为两定点,动点点的距离与到点的距离的比为定值,求点的轨迹.解:设动点的坐标为.,得化简得.时,化简得,整理得时,化简得.所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆;时,点的轨迹是. 14.(人教A版必修2第133例5)已知线段的端点的坐标是(4,3),端点在圆上运动,求线段的中点的轨迹方程.变式1:已知定点,点在圆上运动,是线段上的一点,且,则点的轨迹方程是  A.                      B.C.                    D.解:..在圆上运动,,即的轨迹方程是,故选(C).变式2:已知定点,点在圆上运动,的平分线交于点,则点的轨迹方程是          .解:.的平分线, .由变式1可得点的轨迹方程是.变式3:已知直线与圆相交于两点,以为邻边作平行四边形,求点的轨迹方程.解:的中点为.是平行四边形的中点,的坐标为,且.直线经过定点,化简得.的轨迹方程. 15.(人教A版必修2第144练习第3题)某圆拱桥的水面跨度20,拱高4.现有一船宽10,水面上高3,这条船能否从桥下通过?变式1:某圆拱桥的水面跨度是20,拱高为4.现有一船宽9在水面以上部分高3,故通无阻.近日水位暴涨了1.5,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低        时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为.圆经过点(10,0),(0,4),,解得.圆的方程是.  ,得.故当水位暴涨1.5后,船身至少应降低,船才能通过桥洞.变式2:据气象台预报:在正东方300的海面处有一台风中心,正以每小时40的速度向西北方向移动在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约      ,台风将影响,持续时间约      .(结果精确到0.1解:为原点,正东方向所在直线为轴,建立直角坐标系,则台风中心的移动轨迹是,受台风影响的区域边界曲线方程是.依题意有,解得..从现在起经过约2.0,台风将影响持续时间约6.6.变式3:有一种商品,两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后回贩运时,单位距离的运费地是地的3倍.已知两地的距离是10,顾客购买这种商品选择地或地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解:的中点为原点,所在直线为建立直角坐标系,则.售货区域分界线上的任意一点,单位距离的运费为,则,化简得.两地售货区域的分界线是以为圆心为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货,在曲线外的居民选择地购货,在曲线上的居民去两地购货均可.

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