2012数学第8章 8.5《一元线性回归案例》知能优化训练（湘教版选修2-3）教案

1．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是(　　)A．①②　　　　　　　　 B．①③C．②③   D．③④解析：选B.图①是正相关线性最强，图③是负相关线性最强，②④散点图的点较分散．2．(2010年高考湖南卷)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)A．y＝－10x＋200   B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200   D．y＝10x－200解析：选A.由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时 ，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意，故选A.3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是(　　)A．由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(，)B．回归模型：yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)中ei描述了随机误差造成的影响C．用相关指数rxy来刻画回归效果，rxy的值越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.r的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C.4．(2011年高考辽宁卷)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.答案：0.254一、选择题1．下列各关系中是相关关系的是(　　)①路程与时间、速度的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与圆面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系．A．①②④   B．①③⑤C．③⑤   D．③④⑤解析：选C.①②④都是确定的函数关系．2．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x间的线性回归方程为(　　)A．y＝x＋1   B．y＝x＋2C．y＝2x＋1   D．y＝x－1解析：选A.由题意可知变量y与x成线性相关关系，且斜率＝1，代入点(1,2)，即可得出线性回归方程y＝x＋1.3．有下列数据 x123y35.9912.01 下列四个函数中，模拟效果最好的为(　　)A．y＝3×2x－1   B．y＝log2xC．y＝3x   D．y＝x2解析：选A.当x＝1,2,3，代入求y值，求最接近y的值．4．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y(单位：%)为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是(　　)A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.50%解析：选C.当x＝37时，y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计，年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.5．(2011年高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954  根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)A．63.6万元   B．65.5万元C．67.7万元   D．72.0万元解析：选B.∵＝＝，＝＝42.又y＝bx＋a必过(，)，∴42＝×9.4＋a，∴a＝9.1.∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．6．(2011年高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为(　　)A．y＝x－1   B．y＝x＋1C．y＝88＋x   D．y＝176解析：选C.因为＝＝176，＝＝176，又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.二、填空题7．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．解析：由题意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y＝－10＋6.5x.答案：y＝6.5x－108．(2011年高考广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高可列表如下： 父亲身高173170176儿子身高170176182设回归直线方程y＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝－b＝176－173＝3，故回归直线方程为y＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．解析：经计算，去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．答案：D(3,10)三、解答题10．已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下： x45424648423558403950y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72x(血球体积，mm3)，y(红血球数，百万)．(1)画出散点图；(2)求出回归直线方程，并且画出回归直线．解：(1)作出散点图如图：(2)＝(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)＝44.50，＝(6.53＋6.30＋9.25＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋7.72)＝7.243.设回归直线方程为y＝bx＋a，经计算b＝≈0.160，a＝－b ＝0.123.所以所求回归直线的回归方程为y＝0.160x＋0.123，回归直线如图：11．某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下： 月人均收入x(元)300390420520570月人均生活费y(元)255324335360450月人均收入x(元)7007608008501080月人均生活费y(元)520580600630750(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)试预测月人均收入为1100元和月人均收入为1200元的两个家庭的月人均生活费．解：(1)作出散点图如图所示，由图可知月人均生活费与月人均收入之间具有较强的线性相关关系．(2)通过计算可知＝639，＝480.4，sxy＝34780.4，sx＝229.584，∴b＝≈0.6599，a＝－b58.7239，∴线性回归方程为y＝0.6599x＋58.7239.(3)由以上分析可知，我们可以利用回归方程y＝0.6599x＋58.7239来计算月人均生活费的预报值．将x＝1100代入，得y≈784.61，将x＝1200代入，得y≈850.60.故预测月人均收入分别为1100元和1200元的两个家庭的月人均生活费分别为784.61元和850.60元．12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解：(1)设所求的线性回归方程为y＝bx＋a，则b＝＝＝＝0.5，a＝y－b＝0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．