高中数学沪教版高中二年级 第一学期7.7数列的极限学案

这是一份高中数学沪教版高中二年级 第一学期7.7数列的极限学案，共7页。学案主要包含了考题回放，专家解答，考点透视，热点透析等内容，欢迎下载使用。
等差数列与等比数列 ★★★高考在考什么【考题回放】1．设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋……＋a17＝    153       .2．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝(  A  )（A）           （B）           （C）         （D）3．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　C　）（A）55　　　　  （B）70　　　　　（C）85　　　　　（D）1004．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（  C  ）(A)       (B)           (C)          (D) 5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2；  ②a2与S3；  ③a1与an；  ④q与an．其中一定能成为该数列“基本量”的是第   ①④    组．(写出所有符合要求的组号)6．设数列{an}的首项，且，记．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）（理）求．【专家解答】（I）a2＝a1+= a+，a3=a2 =a+；（II）∵ a4 = a3+=a+，     ∴ a5=a4=a+，所以b1=a1－=a－， b2=a3－= (a－)， b3=a5－= (a－)，猜想：{bn}是公比为的等比数列．证明如下：     因为bn+1＝a2n+1－=a2n－= (a2n－1－)=bn， (n∈N*)     所以{bn}是首项为a－， 公比为的等比数列·（III）（理）．★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．【热点透析】高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．★★★突破重难点【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk = 2550．(Ⅰ) 求a及k的值；   (Ⅱ) 求(…)．解析（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550．由已知得a＋3a = 2×4，     解得a1 = a = 2，公差d = a2－a1= 2．      由得 ，解得 k = 50． ∴ a = 2，k = 50． （Ⅱ）由得Sn= n (n＋1)，∴        ， ∴ ．【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．【文】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．解析 由已知得，   即 ，解得或  或 经验证 或 均满足题意，即为所求．【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．【范例2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列{an}的通项an .解析  ∵10Sn=an2+5an+6，     ①    ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)， ②     由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0  ∵an+an－1>0  ， ∴an－an－1=5 (n≥2)． 当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【文】已知等比数列的前项和为，且．（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解析 （1）当时，．而为等比数列，得，即，从而．  又．（2）， 两式相减得，因此，．【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：  ，  ，，  …  …   …  …已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij ( i≥j， i， j∈N*)．(1) 求a83；(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；(3) 记第n行的和为An，求解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是． ∴．　（2）由（1）知，，∴．　（3）．【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．【文】在等比数列{a n}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列   （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列   （２）设{an}的首项为a1，公比为q.    由已知得2am+2= am + am+1     ∴2a1qm+1=a1+a1qm    ∵a1≠0  q≠0 ，∴2q2－q－1=0 ，  ∴q=1或q=－当q=1时，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2，      ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=－时， ，∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ，     ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．【范例4】已知数列在直线x-y+1=0上．（1）            求数列{an}的通项公式；（2）若函数求函数f (n)的最小值； (3)设表示数列{bn}的前n项和． 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．                 解析  （1）在直线x-y+1=0上　　　　     （2） ，   ，  ．   （3），      ．              ……………………………………      故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立． 【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式．第（3）小题的探索性设问也是本题的升华．【变式】设数列是等差数列，．（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；（Ⅱ）当时，若满足，使得是等比数列，求数列的通项公式．解析（Ⅰ）设公差为，则由，得∵成等比数列，∴  解得．故成等比数列． （Ⅱ），∴，故．又是等比数列，则，∴，又，∴，∴【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容． ★★★自我提升1．在等差数列中，，则（  A ）（A）       （B）          （C）        （D）-1或12．（理）已知数列的值为（ C  ）（A）    （B）         （C）1         （D）－2（文）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ D  ）（A）       （B）     （C）    （D）3．设{a n}为等差数列，a 1>0 ，a 6+ a 7>0， a6 a 7<0，则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（ B  ） （A）11        （B）12         （C）13         （D）14    4．三个数成等比数列，且，则的取值范围是（ D  ）（A）    （B）    （C）   （D）    5．令a n为的展开式中含xn项的系数，则数列{a n}的前n项和为__________．6．这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；（2）n＝n+1（将当前n+1的值赋予新的n）（3）x = x+2（将当前的x=2的值赋予新的x）（4）y =2 y  （将当前2y的值赋予新的y）（5）z = z + x y（将当前z+xy的值赋予新的z）（6）如果z>7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印n，z；（8）程序终止．由语句（7）打印出的数值为　　　n=8，z=7682　．7．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．（Ⅰ） 求数列的通项公式；（Ⅱ） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解析 （Ⅰ）设二次函数f (x)＝ax2+bx (a≠0)，则=2ax+b，又=6x－2，得a=3 ，  b=－2， 所以  f(x)＝3x2－2x．又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5．当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）．因此，要使（1－）<（）恒成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10． 【文】设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.. (Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
解析：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,   又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…（Ⅱ）由得即由①+②得－7d＜11。即d＞－.   由①+③得13d≤－1，即d≤－.于是－＜d≤－，  又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z, 故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,… 8．（理）数列{}的前项和满足：（1）求数列{}的通项公式；（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．解析：（1）当时有：两式相减得： ∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．从而 （2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，   因此只能是，即 、、均为正整数，∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。【文】在等差数列中，，前项和满足， （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．解析（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，所以，即，所以．（Ⅱ）由，得．故，当时，；当时，，即．