高一数学北师大版选修2-3 创新演练阶段第1部分第一章§5 第二课时 应用创新演练教案
展开1.若(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中,a3=a12,则自然数n的值为( )A.13 B.14C.15 D.16解析:在(1+x)n的展开式中,某一项二项式系数与这一项系数相同,由于a3=a12,∴n=15.答案:C2.设(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若n=4,则a0-a1+a2+…+(-1)nan等于( )A.256 B.136C.120 D.16 解析:在展开式中,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=44.答案:A 3.若n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )A.10 B.20C.30 D.120解析:由2n=64,得n=6,∴Tk+1=Cx6-kk=Cx6-2k(0≤k≤6,k∈N).由6-2k=0,得k=3.∴T4=C=20.答案:B4.在4的展开式中各项系数之和是16.则a的值是( )A.2 B.3C.4 D.-1或3解析:由题意可得(a-1)4=16,a-1=±2,解得a=-1或a=3.答案:D5.若(3x+1)n(n∈N+)的展开式中各项系数之和是256,则展开式中x2的系数是________.解析:令x=1,得4n=256,n=4, x2 的系数为C32=54.答案:546.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为________.解析:(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2= (a0+a2+a4+a1+a3)·(a0+a2+a4-a1-a3)=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4),令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4=(2-)4,于是(2+)4·(2-)4=1.答案:17.已知(1+x)n展开式的第五、六、七项的系数成等差数列,求展开式中系数最大的项.解:在(1+x)n的展开式中,第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数,即分别是C,C,C.∴有C+C=2C,即n2-21n+98=0,解得n=14或n=7.∴当n=14时,(1+x)n展开式的系数最大的项为第8项Cx7=3 432x7;当n=7时,(1+x)n展开式中系数最大的项为第四项Cx3=35x3和第五项Cx4=35x4.8.对二项式(1- x)10,(1)展开式的中间项是第几项?写出这一项.(2)求展开式中各二项式系数之和.(3)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和.解:(1)展开式共11项,中间项为第6项,T6=C(-x)5=-252x5.(2)C+C+C+…+C=210=1 024.(3)设(1-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=0.令x=0,得a0=1.∴a1+a2+…+a10=-1.