《变换的快慢与变化率》学案1（北师大版选修2-2）教案

第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。二、知识探究阅读课本例1、例2，填空：1.物体在一段时间内运动的快慢可以用这段时间内的平均速度来刻画，当时间从变为时，物体所走过的路程从变为，这段时间内物体的平均速度为.2.人的体温在一段时间内变化的快慢可以用这段时间内体温的平均变化率来刻画。当时间从变为时，体温从变为，则体温的平均变化率为.三、抽象概括：1.对一般的函数来说，当自变量x从变为时，函数值从变为，则在区间上的平均变化率为，通常把叫做自变量的改变量，把叫做函数值的改变量，则函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 ，我们用它来表示函数在区间上变化的快慢。2.如果在中，根据用代替，则，我们今后常常使用最后一个式子来求在给自变量x一个微小变量时，函数区间[，]上的平均变化率. （式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 △ x的值不能为0， △ y 的值可以为0，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 ）.3思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么? （割线的斜率）七.达标检测：1．   设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（　D　）A　　　B　　　C　　  D　2．   一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（ B ）A　－4　　B　－8　　C　6　D　－63．   将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（ B ）A　　B　　　C　　D　4．   在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（　C　）A　　　B　　　C　　　D　5．函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的　平均速度　　　.6．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、连线的　　斜率　　　7．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是　　　17.5　　　　　　8．函数在附近的平均变化率是　      　9.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.10．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度（单位：孤度）由函数（单位：秒）给出（1）求t＝2秒时，P点转过的角度.   (6.8弧度)    （2）求在时间段内P点转过的平均角速度，其中①，②③解：平均速度.（1）2.5  （2）2.77  （3）2.797 11：求函数+6在区间（或）的平均变化率，答：（10x0+5⊿x）   八、学习反思：总结求函数平均变化率的一般步骤.  1.2变化的快慢与变化率（第二课时）一、学习目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。二、学习重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。三、学习难点：平均变化率到额瞬时变化率的实际意义四、学法指导：由于平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，因此，我们设想不断减少自变量的改变量，借助计算器、电脑等对平均变化率进行直接计算，体会随着的减小，的值越来越趋于稳定状态，从而建立瞬时速度可以用平均速度逼近的直接体验，并最终形成用“平均变化率”逐渐“逼近”函数在某一点的变化率，即“瞬时变化率”的观念，并在计算过程中体会瞬时速度、瞬时变化率的实际意义。五、学习内容：一)复习：函数平均变化率的计算公式.             二)亲自计算，体会逐渐逼近的过程，理解瞬时速度，线密度的意义。例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。指导：教材的分析过程体现了用平均速度逼近瞬时速度的思想。表2-2显示了时间且不断逼近5s时，平均速度趋于49m/s.那么，当时间t1<5s且不断趋紧5s时，平均速度的变化趋势是怎样的？填写下表,分析平均速度的变化趋势。（教师用excel计算）t0/st1/s时间的改变量（Δt）/s路程的改变量（Δs ）/m平均速度/（m/s）54.9   54.99 -0 54.999   54.9999   54.99999   可以看出，当时间t1<5s趋于t0=5s时，平均速仍然趋于        ，因此，可以认为小球在t0=5s时的       为49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，           ，每秒将要运动49m。例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：。估计该合金棒在x=2m处的线密度。分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。填写下表，分析当x1<2且不断趋近2时，平均线密度的变化趋势。x0/sx1/s长度x的改变量（Δx）/m质量y的改变量（Δs ）/kg平均线密度/（kg/m）21.9   21.99   21.999   21.9999   21.99999   可以看出，当x1<2且趋于x0=2m时，平均线密度仍然趋于      ，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的     为             。从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是，           ，其质量将为0.71kg。三)抽象概括：1.对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若设Δx= x1－x０，，则函数的平均变化率是                    .而当Δx趋于      时，平均变化率如果趋近于一个             ，则这个常数就是函数在点x0的         ，瞬时变化率刻画的是                的快慢。2.上述结论中，Δx趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0.3.求瞬时变化率的步骤：（1）                                 .（2）                        .（3）                                        1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。如果在第h时原油的温度为 .计算第2 h和第6 h时，原油的瞬时变化率.。（答：1；65）   2、以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为，求物体在时刻处的瞬时速度。(答：)   3：求函数图像上两点P（1,1）和 作曲线的割线，(1)求出当 时割线的斜率。(2)求在处的瞬时变化率。（答：3.31；）   七．学习反思：1.瞬时变化率与平均变化率的关系。2.求瞬时变化率的一般步骤：