初中鲁教版 (五四制)6 直线和圆的位置关系教案

5.6 直线和圆的位置关系（2）

教学目标

1．知识目标

（1）探索切线与过切点的半径之间的位置关系.

（2）了解切线的性质.

2．能力目标

会利用切线的性质解决与圆有关的简单问题.

3．情感目标

在探索图形性质的过程中，培养和发展学生的探索精神，提高学生的应用意识.

教学重、难点

重点：会利用切线的性质解决与圆有关的简单问题.

难点：会利用切线的性质解决与圆有关的简单问题.

教学方法

教师指导学生探索法.

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

（1）下雨天当你快速转动雨伞时你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出，仔细观察一下，水珠是顺着什么方向飞出？

（2）用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球突然脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况.

Ⅱ．新课讲解

1．复习相切的相关知识点

直线和圆的位置关系，直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点.

2．议一议

图（1）中的三个图形都是轴对称图形吗？如果是，你能分别画出它们的对称轴吗？

图（1）中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线.

3．合作探索新知

（1）同学们不妨在练习本上画一个圆O，及半径OA，画一条直线L经过⊙O的半径OA的外端A，且垂直于这条半径OA.观察这条直线与圆的位置特点.

（2）如图，直线CD与⊙O相切于点A,半径OA与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.

图（2）

对于（2）小颖和小亮都认为半径OA垂直于CD.同意他们的观点吗?

请大家发表自己的想法.

所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，半径OA与直线CD垂直，因为图（2）是轴对称图形，OA所在的直线是对称轴，所以沿它对折图形时，AC与AD重合，因此∠OAC=∠OAD＝90°.

因为直线CD与⊙O相切于点A，半径OA与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径.

这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论.

在图（2）中，OA与CD要么垂直，要么不垂直．假设OA与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以OA与CD垂直.

这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立.

4．典型例题

例2 市广场上有一个圆形喷水池，如图是它的平面示意图.图中的圆环部分是喷水池的围墙.为了测量圆环的面积，小明和小颖取来一个卷尺，拉直后使它与内圆相切于点C，与外圆相交于点A，B，量得AB的长为12m，你能由此求出圆环的面积吗？（结果精确到0.1m2）

解：设喷水池平面图的圆心为点O，连接OC，OA.

∵AB与内圆相切于点C，

∴OC⊥AB.

∵AB是外圆的弦，AB=12（m）,

∴AC=BC=6（m）.

在RtΔACO中，

∵AC2+OC2=OA2，

∴OA2-OC2=AC2.

于是，π•OA2- π•OC2=π（OA2-OC2）= πAC2

                            ≈3.14×62

                            ≈113.0（m2）.

所以，圆环的面积为113.0 m2.

在解决有关圆的切线问题时，常需要作出过切点的半径.

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

Ⅴ．课后作业

习题5.10