高一数学北师大版选修2-2第一章 §4 应用创新演练教案

1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证(　　)

A．1＋<2　　　　　　　   B．1＋＋<2

C．1＋＋<3       D．1＋＋＋<3

解析：∵n>1，且n∈N＋，∴n的第一个取值n0＝2.

此时＝.

答案：B

2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)

A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确

B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确

C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确

D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)

解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．

答案： B

3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N＋)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an＝(　　)

A.        B.

C.        D.

解析：∵a1＝1，a2＝，

又S3＝1＋＋a3＝6－a3，

∴a3＝.

同理，可求a4＝，观察1，，，，…，

容易猜想出an＝.

答案：D

4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为(　　)

A．增加

B．增加＋

C．增加＋，减少

D．增加，减少

解析：当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.

答案：C

5．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.

解析：凸k＋1边形在凸k边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.

答案：π

6．用数学归纳法证明

1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：

①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

②假设当n＝k时，等式成立，即

1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，

则当n＝k＋1时，

1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，

所以，当n＝k＋1时等式成立．

由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．

上述证明的错误是________．

解析：当n＝k＋1时正确的解法是

1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，

即一定用上第二步中的假设．

答案：没有用上归纳假设进行递推

7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．

(1)计算a2，a3，a4；

(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．

解：(1)a1＝1，a2＝＝，

a3＝＝，a4＝＝.

(2)由(1)的计算猜想知an＝.

下面用数学归纳法进行证明．

①当n＝1时，a1＝1，等式成立．

②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，

那么ak＋1＝＝＝，

即当n＝k＋1时，等式也成立．

根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝.

8．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N＋.证明an<an＋1<2(n∈N＋)．

证明：①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，

∴a1<a2<2，命题正确．

②假设n＝k时，有ak<ak＋1<2，则n＝k＋1时，

ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)

＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)

＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．

而ak－ak＋1<0,4－ak－ak＋1>0，

∴ak＋1－ak＋2<0.

又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]<2，

∴n＝k＋1时命题正确．

由①②知，对一切n∈N＋有ak<ak＋1<2.