2012-2013高二北师大数学选修2-2：第一章 推理与证明 1.1归纳推理教学设计 （北师大版）

第一章 推理与证明1.1归纳推理

教学目标：

1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程：

一、课堂引入：

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理

二、新课讲解：

1、     蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、     三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是

由此我们猜想：凸边形的内角和是

3、，由此我们猜想：（均为正实数）

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)

归纳推理的一般步骤：

⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳  整理；

⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：

例1  通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

；；

；。

分析：由上面四个等式寻求规律：每个等式左边的三个角都两两相差，右边是同一个值。猜想：把等式左边的三个角中最小一个设为，那么另外两个就分别是：和；如果把最小一个角设为，那么另外两个就是：，；所以猜想的结果从形式上看并不唯一。

解：；

变式练习1

通过观察下列不等式，猜想一个一般性结论，

；；；。

变式练习1：；

例2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．

归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．例2解　在{an}中，a1＝1，a2＝＝， a3＝＝＝，a4＝＝，…，

所以猜想{an}的通项公式为an＝.

这个猜想是正确的，证明如下：

因为a1＝1，an＋1＝，

所以＝＝＋，

即－＝，所以数列是以＝1为首项，

为公差的等差数列，

所以＝1＋(n－1)×＝n＋，

所以通项公式an＝.

变式练习2

已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。

变式练习2：解：（1）

由此猜想，；

课堂小结

归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。1．归纳推理的特点

① 归纳是依据个体的结果推断出整体的一般结论，故所得的结论超越了前提所包容的范围；

② 归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，所以结论具有猜测的性质；

③ 归纳的前提是个体的情况，所以归纳是以观察、经验或实验为基础的。

2．归纳推理的一般步骤

① 通过观察特例发现某些共性或规律；

② 由这种共性或规律猜想出一般结论（命题）；

③ 对所提出的命题进行检验。

3．归纳推理的结论未必真，欲知真假需证明。

例 设，则，，……，全是质数，请验证。那么“对，为质数”的结论真吗？请检验，看是否为质数。

4．归纳推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：数列的通项公式、前项和公式的求法，常用此法先猜后证。

课堂练习

1．在直角坐标平面内，一只昆虫从原点O出发，以每秒爬行一个长度单位的速度延箭头所指方向爬行，则它在第45秒和第69秒的爬行方向分别是（  ）

A．上、右B.右、下 C.上、上 D.下、右 

1、答案C；

2．有一个奇数列1,3,5,7,9,┅，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，┅，现观察猜想每组内各数之和与其组的编号数的关系为（  ）

  A．等于 B.等于 C.等于 D.等于

2、答案B；

3．下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式是（  ）

A．C4H9   B．C4H10  C．C4H11   D．C6H12

3、答案B；

4．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，，，，，……，它的第8个数可以是         。

4、答案—；

5．从，，中得出的一般性结论是_____________；

5、答案；

6.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出     。

6、答案

能力提高

1．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2   3

4   5   6

7   8   9   10

…………

   按照以上排列的规律，第行（从左向右的第3个数为        。

1、答案；

2．已知0＜＜，由tan+≥2。tan+=+≥3，

tan+=+++≥4，…启发我们得到推广结论。tan+≥n+1（n∈N*），则a=          。

2.解析：由于tan+=++…++≥n+1，

所以a=nn。

点评：通过特征观察，抓住参照物（往往是已知的知识点）与目标物（待考察性质的知识点）之间的特征进行推理。