2012-2013高二北师大数学选修2-2：2.2.2导数的几何意义课件教案

第二章 变化率与导数2.2.2 导数的几何意义1.平均变化率2.瞬时变化率复 习 回 顾3.导数的定义4.点斜式直线方程：复 习 回 顾曲线的切线当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)△y= f(x1)- f(x0)函数值的增量△x= x1- x0自变量的增量M△x△yy0=f(x0)， y1=f(x1)Q(x0+ △x,y0+ △y)△y=f(x0+ △x)-f(x0) 设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时, 如果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义T 设割线PQ的倾斜角为β，切线PT的倾斜角为α 当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即tan α=M△x△y曲线在某一点处的切线的斜率公式x oyy=f(x)Qtanβ=求曲线L：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。割线 MN 的斜率为： LMxyoTN切线斜率 切线 MT 的斜率为： （3）这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.（1）割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.（2）曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点.说明：（4）若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f'(x0)不存在，就是切线与y轴平行.导数的几何意义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就 是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率，即：由直线的点斜式方程可知，曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线方程与法线方程分别为：例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.过求函数图象切线需要注意的问题（1）已知切点(x0, f(x0))，求切线：①求切线的斜率:k=f'(x0)； ②确定切点(x0,f(x0))； ③写切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).（2）已知切线过点(a，b)，求切线方程点(a，b)可以在曲线上，也可以不再曲线上A、设切点(x0，f(x0))；B、求斜率k=f'(x0)；C、写切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)；D、代入已知点(a,b)，列方程组求得x0； E、代入求得切线方程.例4.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.解：如图各处的切线，我们用此来刻画此三个时刻附近的变化情况(1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴∴在t=t0附近曲线h(t)比较平坦，几乎没有升降.(2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0，∴在t=t1附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0，∴在t=t2附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递减.由图形可知，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降缓慢.解：在点P处的切线方程是 12x-3y-16=0即点P处的切线的斜率等于4. 求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。