《导数的综合应用》同步练习1（北师大版选修2-2）教案
展开导数的综合应用
课前自测
- 已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是_____________
- 已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为______
- 已知f(x)＝则方程f(x)＝2的实数根的个数是___________
4.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ___________
5.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值, 则b的取值范围是___________
典型例题
例1．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x(百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数y1＝－2x2＋14x(百万元)来计算；每投入x(百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y2＝－x3＋2x2＋5x(百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：≈1.414，≈1.732)
例2．已知向量a＝(x2－1，－1)，b＝(x，y)，当|x|＜时，有a⊥b；当|x|≥ 时，a∥b.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(3)若对|x|≥ ，都有f(x)≤m，求实数m的最小值.
例3．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围
随堂练习
1．已知曲线y=x3+,则在点P(2,4)的切线方程是___________________.
2．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为__________
3.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为___________
课后研学
1在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是_______________
2已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是 ________
3设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为____________
4设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为___________
5若函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)之间的大小关系为_____________
6已知m<0，f(x)＝mx3＋x，且f′(1)≥－12，则实数m的值为___________
7已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为_____________
8已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为__________．
9.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________
10定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为函数f(x)的导函数．已知函数y＝f′(x)的图象如图2所示，两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则求的取值范围。
11求在区间的最大值
12. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2经过点M(1,4)，在点M处的切线恰与直线x＋9y＋5＝0垂直．
(1)求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．
13.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
参考答案
课前自测
1、 2、 3、3 4、D 5、
例1解：设3(百万元)中技术改造投入为x(百万元)，广告费投入为3－x(百万元)，则广告收入带来的销售额增加值为－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，技述改造投入带来的销售额增加值为－x3＋2x2＋5x(百万元)，所以，投入带来的销售额增加值F(x)＝－2(3－x)2＋14(3－x)－x3＋2x2＋5x.
由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候．
整理上式得F(x)＝－x3＋3x＋24，
因为F′(x)＝－x2＋3，
令F′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)，
当x∈[0，)，F′(x)＞0，当x∈(，3]时，F′(x)＜0，
所以，x＝≈1.73时，F(x)取得最大值．
所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．
例2 解：(1)当|x|＜时，由 a⊥b，得a·b＝(x2－1)x－y＝0，
即y＝x3－x(|x|＜)；
当|x|≥时，由a∥b，得y＝(|x|≥).
∴f(x)＝
(2)当|x|＜时，由y′＝3x2－1＜0，解得－＜x＜，
当|x|≥时，y′＝＝＞0，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－，).
(3)对∀x∈(－∞，－]∪[，＋∞)，都有f(x)≤m，即m≥，
由(2)知当|x|≥时，y′＝＞0，
∴函数f(x)在(－∞，－]和[，＋∞)上都单调递增，
f(－)＝＝，f()＝＝－，
当x≤－时，y＝＞0，∴0＜f(x)≤f(－)＝，
同理可得，当x≥时，有－≤f(x)＜0，
综上所述，对∀x∈(－∞，－]∪[，＋∞)，f(x)取得最大值，
∴实数m的最小值为.
例3．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3≥0，∵x≥1，∴a≤(x－)．
当x≥1时，(x－)是增函数，其最小值为(1－1)＝0，∴a≤0.
(2)令h(x)＝f(x)－(a2－3)x＋1，h′(x)＝3x2－2ax－a2＝0，
得x＝a或x＝－，∵a>0，∴有
x | (－∞，－) | － | (－，a) | a | (a，＋∞) |
h′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
h(x) | | a3＋1 | | －a3＋1 | |
∴x＝－时h(x)有极大值，h(x)极大值＝h(－)＝a3＋1.
x＝a时h(x)有极小值，h(x)极小值＝h(a)＝－a3＋1，
∵若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，
∴h(a)≥0或h(－)≤0，
∴－a3＋1≥0或a3＋1≤0(舍)，解得0<a≤1.
随堂练习
1、4x-y-4=0 /2、 3、_
课后研学
1、或 2、[，) 3、4 4、(－∞，－3]∪[－，＋∞)
5解析：设g(x)＝，则有g′(x)＝＝>0，因此g(x)在R上是增函数，当a>0时，有g(a)>g(0)，即>＝f(0)，f(a)>eaf(0)
6、－2
7、解析：由图知，f(x)在(－∞，0)上单调增，在(0，＋∞)上单调减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴所求不等式等价于－2<x2－6<3，解得2<x<3或－3<x<－2.
8解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
要使f(x)有极大值和极小值，需f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0.∴a>6或a<－3.
9解析：由题意可得，y′|x＝1＝n＋1，则所求切线为：y＝(n＋1)x－n，令y＝0，得xn＝.
由对数运算法则可知a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lg(x1·x2·x3·…·x99)＝lg＝－2.
10解析：由题中图可知，当x>0时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数．由2a＋b>0，f(2a＋b)<1＝f(4)得2a＋b<4，即2a＋b－4<0.在直角坐标平面aOb内画出不等式组表示的平面区域，将视为该平面区域内的点(a，b)与点
(－2，－2)的连线的斜率，结合图形不难得知的取值范围是(，3)，
12. 解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx.
由已知得即
∴a＝1，b＝3.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋3x2，
∴f′(x)＝3x(x＋2)．
令f′(x)>0，解得x≤－2或x≥0，
∴f(x)在区间(－∞，－2)和[0，＋∞)上单调递增．若f(x)在[m－1，m＋1]上单调递增，
则[m－1，m＋1]⊆(－∞，－2)或[m－1，m＋1]⊆[0，＋∞)，
∴m＋1≤－2或m－1≥0.
∴m≤－3或m≥1.
∴m的取值范围是m≤－3或m≥1.
13．解:(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知
-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f′(-1)=-.
∵f′(x)=, ∴
即
解得a=2,b=3(∵b+1≠0,b=-1舍去).
∴所求的函数解析式是f(x)=.
(2)f′(x)=.
令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2,x2=3+2. 当x<3-2或x>3+2时,f′(x)<0;
当3-2<x<3+2时,f′(x)>0. 所以f(x)=在(-∞,3-2)内是减函数,在(3-2,3+2)内是增函数,在(3+2,+∞)内是减函数.
