2012-2013高二北师大数学选修2-2：1.4 数学归纳法教学设计
展开第六课时 1.4数学归纳法
【教学目标】
1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．
2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．
3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．
4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．
5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学方法】类比启发探究式教学方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容
1． 创设问题情境，启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例：
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．
(2) 完全归纳法对比引例：
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．
在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．
2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识
（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）
(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．
(2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．
3.借助数学史料, 促使学生思辨
（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）
问题1 已知＝（n∈N），
(1)分别求；；；． (2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？
（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）
问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
问题3 , 当n∈N时，是否都为质数？
验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合数．
第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构
3． 搜索生活实例，激发学习兴趣
（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）
实例：播放多米诺骨牌录像
关键：(1)第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．
搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．
4．类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式：
(1) 当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）
5． 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值时结论正确；
(2) 假设当n＝k (k∈，k≥) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．
这种证明方法叫做数学归纳法．
第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程
6． 蕴含猜想证明, 培养研究意识
典例分析
（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）
例1 数列满足，先计算前4项后，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；
解：，猜想：
下面用数学归纳法证明：
证明：(1)当时n=1有上面过程知猜想成立
（2）假设时，命题真，即：
∵
又
∴=
∴，即当时也成立。
变式练习1
已知已知下列等式
，
，
，
……
猜想第n个式子并证明你的猜想。
解：猜想：第个式子是：
证：（数学归纳法）当时，显然成立；设当时成立，即：
， 两边同加上得：
，即时也成立。
根据数学归纳法原理可知原命题成立。
7． 师生共同小结, 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；
(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
8． 巩固延伸铺垫
在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命题成立, 必须要用到n＝k时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：
用数学归纳法证明： (n∈)时, 其中第二步采用下面的证法：
设n＝k时等式成立, 即, 则当n＝k＋1时,
．
你认为上面的证明正确吗？为什么？
教后反思：
1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
基础训练：
1．用数学归纳法证明
在验证成立时,左边所得的项为( )
A.1 B. 1+ C. D. ；
1、答案C；
2．用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被整除”第二步的归纳假设应写成( )
A.假设正确,再推 正确；
B.假设正确,再推 正确；
C.假设正确,再推正确； D.假设正确,再推正确；
2、答案B；
3．用数学归纳法证明：“当是31的倍数”时,时的原式是 ,从到时需添加的项是 ；
3、答案；；
4．正数数列中，.
⑴ 求；⑵ 猜想的表达式并证明；
4、解：（1）
（2）猜想：，下面用数学归纳法证明：
（只证明第二步）假设时，命题真，即
∴ 考虑到，解得：
即当时也成立。
5．用数学归纳法证明：能被9整除。
5、略证：（只证明第二步）假设时，命题真！即：能被9整除。
，显然能被9整除，所以能被9整除。即当时也成立。
