2012-2013高二北师大数学选修2-2：第四课时 3.2.2最大值、最小值问题教学设计
展开第四课时 3.2.2最大值、最小值问题
教学目的：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
一.知识回顾
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点.
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点.
极大值与极小值统称为极值.
注 意:
1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量x的值，极值指的是函数值y.
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.二、 求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.)
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.
注意:
如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着反之不一定成立！！！
如y=x3
二.新课探究
一.最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
注意:
1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.
抽象概括：
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，
函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；
有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；
极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.
二.如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. (2)利用函数的图象;
如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.
(3)利用函数的导数;利用导数求函数f(x)在区间[a,b]
上最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f (a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值
例题分析：
例1.求函数f(x)=x2-4x+3在区间
[-1，4]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4
令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2
x | -1 | （-1,2） | 2 | （2，4） | 4 |
|
| - | 0 | + |
|
| 8 | -1 | 3 |
故函数f (x) 在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1.
例2.(1)求f(x)＝x3-3x2－9x+5在[-4，4]上的最大值和最小值.
(2)求函数F(x)=2x3+4x2-8x-16在[-2,m]上的最小值.
(3)已知函数f(x)=x2e-ax(a＞0)，求函数在［1，2］上的最大值.
分析：(1)求最值需利用导数，先求极值和端点函数值，再比较大小确定最大值和最小值.
(2)区间端点含有参数，区间内是否有极值与参数取值有关，先求出函数的单调区间，再根据参数m与极值点的大小分类讨论.
(3)由已知可按求函数最值的步骤进行，但所给函数解析式含有参数a，要对a的取值进行讨论.
解：(1)f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
令f′(x)=0则x=-1或x=3.
列表:
∴f(x)在x=-1处有极大值f(-1)=10,
f(x)在x=3处有极小值f(3)=-22,
在区间端点处f(-4)=-71，f(4)=-15.
比较上述结果得：f(x)在[-4，4]上的最大值为f(-1)＝10，最小值为f(-4)=-71.
(2)F′(x)=6x2+8x-8,
解不等式F′(x)=6x2+8x-8＞0得
即单调增区间为(-∞,-2),( ,+∞).
同理，由F′(x)＜0，得
即单调减区间为
因此，当 时，F(x)min=F(m)=2m3+4m2-8m-16；
当
3)∵f(x)=x2e-ax(a＞0),
∴f′(x)=2xe-ax+x2·(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x),
令f′(x)＞0得
∴f(x)在(-∞,0), 上是减函数,在 上是增函数.
①当 时，即a＞2时，
f(x)在［1，2］上是减函数,
∴f(x)max=f(1)=e-a.
②当 即1≤a≤2时，
f(x)在 上是增函数，在 上是减函数,
∴
③当 即0＜a＜1时，
f(x)在［1，2］上是增函数，
∴f(x)max=f(2)=4e-2a,
综上，当0＜a＜1时，f(x)max=4e-2a，
当1≤a≤2时，f(x)max=4a-2e-2，
当a＞2时，f(x)max=e-a.
练 习
1.函数 ，在［－1，1］上的最小值为( A )
A.0 B.－2 C.－1 D.13/12
2.
解：
小结：
1.函数的最大值与最小值的概念.
2．
3.极值与最值的区别.
