2012-2013高二北师大数学选修2-2：2.5简单复合函数的求导法则导学案教案

第七课时 2.5 简单复合函数的求导法则

学习目标

1．了解形成复合函数的变量之间的关系，会将一个复合函数分解为两个简单函数。

2．了解复合函数的求导法则，会求形如的复合函数的导数。

学法指导

通过例题、习题的求导过程体验复合函数的求导法则的应用，逐步训练复合函数的求导技能；

知识点归纳

1．复合函数

对于两个函数和，给定一个值，就得到了的值，进而确定了y的值，这就确定了一个新的函数,这个新的函数由和复合而成的，我们称它为：         ,其中      为中间变量。

2．复合函数的导数

复合函数的导数为：=       。

重难点剖析

重点：复合函数的求导法则；

难点：将一个复合函数分解为两个简单函数；

剖析：

1．复合函数的概念

一般来说，对于两个函数和，给定一个值，就得到了的值，进而确定了y的值，这就确定了一个新的函数,这个新的函数由和复合而成的，我们称它为复合函数,其中为中间变量。把函数叫做外层函数，函数叫做内层函数。

2．求复合函数导数的步骤：

①选择适当中间变量；

②分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；

③把中间变量代回原自变量（一般是）的函数。

整个过程简记为：分解——求导——回代。

注：关键是正确分析函数的层次结构，一般由最外层开始，由外及里，一层一层求导，最后要把中间变量换成自变量的函数。

四、教学过程

（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：

；；；

2.法则1  　．

法则2    ,

法则3   

（二）、引入新课

海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：。油膜的半径r随着时间t（单位：s）的增加而扩大，假设r关于t的函数为。

油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S关于t的新的函数：。

油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数的导函数。

∵  ，

∴     。

又      ，         ，

可以观察到           ，

即                。

一般地，对于两个函数和，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数和的复合函数，记作。其中u为中间变量。

复合函数的导数为：

         (表示y对x的导数)

复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴；     ⑵；⑶；   ⑷．

例2、求函数的导数。

例3、求函数的导数。

例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为，求函数在t=3时的导数，并解释它的实际意义。

例5求下列函数的导数。

（1） ; （2）;（3）;  （4）;

变式练习1

求下列函数的导数。

(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；

例6 曲线处的切线与直线的距离为，求直线的方程。

分析：由题意，所求的直线必与切线平行，因此只要求出经过的切线方程，再由平行直线系，借助于两平行直线间的距离为，即可求得适合题意的直线方程。

变式练习2

函数处的切线方程为：                     ；

（三）、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代 

课堂练习

1．若函数 （    ）

A．       B．  

C．       D．

2．曲线处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（  ）

A．  B．  C．  D．

3．的导数为：           。

4．设，且，，则      ，      。

5．求函数处的切线方程。

6．我们把过曲线上一点且垂直于曲线在该点处的切线的直线叫曲线在该点处的法线。试求曲线在点处的法线方程。

能力提高

1．已知直线与抛物线相交与两点，，试在抛物线的弧上求一点的面积最大。

2． 求曲线上的点到直线的最短距离。

学后反思

第七课时 2.5 简单复合函数的求导法则参考答案：

例1：解：⑴函数由函数和复合而成；

⑵函数由函数和复合而成；

⑶函数由函数和复合而成；

⑷函数由函数、和复合而成．

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2：解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合而成的。

根据复合函数求导法则可得：

例3：解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合而成的。

根据复合函数求导法则可得：

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4：解：函数是由函数与复合而成的，其中x是中间变量。

∴。

将t=3代入得：

（cm/s）。

它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s。

例5：答案：（1）；（2）；（3）；（4）。

变式练习1：答案：（1）；（2）0；（3）；

（4）。

例6：解：，∴

∴切线方程为：

设的方程为：，依题意有：，解得：

∴直线的方程为：或。

变式练习2：答案：

课堂练习：1、B；  2、D；  3、；  4、；  5、；

6、略解：     ∴所求法线的斜率为：-16

∴曲线在点处的法线方程为：

能力提高：

1、解：如图：P点应是与AB平行的抛物线的切线的切点，令得：

∴P点坐标为，P到直线AB的距离为：。将直线方程和抛物线方程联立并消去得：

设A、B两点的坐标分别为：，则有：

∴|AB|=∴。

2、提示：求平行于直线的曲线的切线的切点，切点到直线的距离即为所求。答案：。