高中数学：1.4.12《数学归纳法》教案（北师大版选修2-2）

第十二课时     数学归纳法一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确（二）、探究新课例1、求证：能被9整除，。证明：（1）当n=1时，，36能被9整除，命题成立；（2）假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即能被9整除。当n＝k+1时，由假设可知，上式的两部分都能被9整除。故n＝k+1时，命题也成立。根据（1）和（2）可知对任意的，该命题成立。证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例2、证明：凸n边形的对角线的条数。证明：（1）当n=4时，，四边形有两条对角线，命题成立。（2）假设n＝k(k≥4)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数.当n＝k+1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，共增加的对角线条数为：（k+1-3）+1=k-1∴。故n＝k+1时，命题也成立。根据（1）和（2）可知对n≥4，公式都成立。用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。例3、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。解：由和，得，，，，……归纳上述结果，可得猜想。下面用数学归纳法证明这个猜想。（1）当n＝1时，左边，右边，等式成立。（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立。那么，当n＝k+1时，。这就是说，当n＝k+1时等式成立。根据（1）和（2），可知猜想对任意正整数n都成立。探索性命题的求解一般分三步进行：①验证p⑴，p⑵，p⑶，p⑷，…；②提出猜想；③用数学归纳法证明。（三）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。（四）、练习：课本练习.（五）、作业：课本习题1-4：2.五、教后反思：