高一数学北师大版选修2-2第一章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项an＝(　　)A．2n　　　　　　　　　　　 B．2n＋1C．2n－1       D．2n＋1答案：B2．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形      B．直角三角形C．钝角三角形      D．不确定解析：由sin Asin C<cos Acos C，可得cos(A＋C)>0，即cos B<0，所以B为钝角．答案：C3．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是(　　)①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②       B．①③C．①③④       D．①②③④解析：根据反证法的证明步骤：反设，正确推理，矛盾，①②③④给出的矛盾都可以．答案：D4．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)A．28        B．76C．123       D．199解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.归纳得f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是(　　)A．各正三角形内的任一点B．各正三角形的中心C．各正三角形边上的任一点D．各正三角形的某中线的中点解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．答案：B6．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(　　)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．答案：D7．用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)”时，第一步应验证 (　　)A．1＋≤＋1       B．1≤＋1C．1＋＋＋≤＋2      D．1＜＋1解析：当n＝1时不等式左边为1＋，右边为＋1，即需要验证：1＋≤＋1.答案：A8．用数学归纳法证明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为(　　)A．2k＋1         B．2(2k＋1)C.         D.解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，所以，增乘的式子为＝2(2k＋1)．答案：B9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)A．大于0         B．小于0C．不小于0        D．不大于0解析：由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)，知ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)≤0.答案：D10．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定(　　)A．大于零         B．等于零C．小于零         D．正负都有可能解析：∵f(x)＝x3＋x，∴f(x)是增函数且是奇函数．∵a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)，∴f(a)＋f(b)>0.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”．答案：x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)12．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.解析：∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋.答案：＋13．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：＝＝()·＝×＝.答案：1∶814．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．(1)求证：an＋1≠an；(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.解：(1)证明：采用反证法．假设an＋1＝an，即＝an，解得an＝0或an＝1，从而a1＝0或a1＝1，与题设a1>0，a1≠1相矛盾，故an＋1≠an成立．(2)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，猜想：an＝.16．(本小题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B>0.又∵cos B＝，∴只需证明a2＋c2－b2>0.∴即证a2＋c2>b2.∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2ac>b2.由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)，∴只需证明b(a＋c)>b2，即证a＋c>b成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．∴B为锐角．法二(综合法)由题意得：＝＋＝，则b＝，b(a＋c)＝2ac>b2(∵a＋c>b)．∵cos B＝≥>0，又y＝cos x在(0，π)上单调递减，∴0<B<，即B为锐角．17．(本小题满分12分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.18．(本小题满分14分)函数列{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]．(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明．解：(1)f1(x)＝(x>0)，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝＝.(2)猜想fn(x)＝，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，命题显然成立．②假设当n＝k时，fk(x)＝，那么fk＋1(x)＝＝＝ .这就是说，当n＝k＋1时命题成立．由①②，可知fn(x)＝对所有n∈N＋均成立．