2012-2013高二北师大数学选修2-2：第一章 推理与证明 1.2 综合法与分析法 同步练习教案

  综合法1.2.2  分析法1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：   :学|科|网]      2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：                3、若实数，求证：            4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤                 5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．                        参考答案1、证明：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc             ①同理 ≥2abc          ②≥2abc               ③因为a，b，c不全相等，所以≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴2、证明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴又∵a，b，c都是正数，所以≤∴∴∴3、证明：采用差值比较法：====∴∴4、分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+ (b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤5、证明：(用分析法思路书写)    要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，    只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，    即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)    只需证a2-2ab+b2＞0成立，    即需证(a-b)2＞0成立。    而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。    (以下用综合法思路书写)    ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0    亦即a2-ab+b2＞ab    由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.