2012-2013高二北师大数学选修2-2：第五课时 第四章 定积分小结与复习导学案教案

第五课时   第四章 定积分小结与复习

一、学习目标：

1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；

2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；

3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。

二、学法指导：

1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；

2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；

3、重点掌握定积分的计算方法。

三、重点与难点：

重点：理解并且掌握定积分算法；

难点：利用定积分的几何意义解决问题。

四、学习方法：探究归纳，学练结合

五、学习过程

（一）、知识闪烁

1）．定积分的概念

一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，

其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．

     （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：

（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功

2）．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。

3）．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1；

性质2（定积分的线性性质）；

性质3（定积分的线性性质）；

性质4（定积分对积分区间的可加性）

(1) ； (2) ；

说明：①推广：

     ②推广:

     ③性质解释：

（二）、方法点拨：

1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。

2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v=

（三）、例题探究

例1、给出以下命题：（1）若，则f(x)>0；  （2）;

（3）应用微积分基本定理，有, 则F(x)=lnx；

（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；

 其中正确命题的个数为 （    ）        

 A．1           B．2      C．3      D．4

例2、求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。

例3、如图所示，已知曲线与曲线交于点、，

直线与曲线、分别相交于点、，连结。写出曲边四边形（阴影部分）的面积与的函数关系式。

例4、物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）

（四）、课堂练习：

1．计算下列定积分。（10分）

（1）                        （2）

第四章 定积分小结与复习

例题探究

例1答案：B

例2

例3解：（Ⅰ）由得点．又由已知得．

故  

    ．

．                         

例4解：设A追上B时,所用的时间为依题意有   即         

       =5 (s)     

所以     ==130  (m)

（四）、课堂练习：

解：(1) =

= +

=

(2) 原式===1