2020-2021学年4.1平面向量的坐标表示教案设计

第二章  平面向量复习课（2课时）

 [第一部分：知识归纳]

1.知识结构

2.重要公式、定理

①.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.

②. 向量共线的两种判定方法：∥()

③. a = (x, y)    |a|2 = x2 + y2     |a| =

   ④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=

   ⑤.cos =

  ⑥.ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）

3.学习本章应注意的问题及高考展望

 ①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。

②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。

③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键.

[第二部分：基础测试]（供选用）

教材P125—126第1、2、3题

[第三部分：应用举例]（供选用）

例1.如图△ABC中，= c，= a，= b，则下列推导

不正确的是……………（       ）

A．若a•b < 0，则△ABC为钝角三角形。

B．若a•b = 0，则△ABC为直角三角形。

C．若a•b = bc，则△ABC为等腰三角形。

D．若c• (a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。

  解：A．a•b = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角

      B．显然成立

      C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等

      D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形

例2.设非零向量a、b、c、d，满足d = (a•c) b  (a•b)c，求证：ad

证：内积a•c与a•b均为实数，

∴a•d = a• [(a•c) b  (a•b)c] = a• [(a•c) b]  a• [(a•b)c]

= (a•b)(a•c)  (a•c)(a•b) = 0

      ∴ad

例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。

解：设a = (x,y)  ∵|a| = 3   ∴…①

又：∵a∥b     ∴1•y  2•x = 0 …②

解之：  或 

即：a = () 或a = ()

例4.已知a、b都是非零向量， a + 3b与7a  5b垂直，且a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16a•b 15b2 = 0    ①

      (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30a•b + 8b2 = 0    ②

       两式相减：2ab = b2

       代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =   ∴ = 60

例5.已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。

解：由题设：a•b = |a||b|cos = 3××= 3

 (a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a•b = 32 + 11 + 3

  ∵夹角为锐角   ∴必得32 + 11 + 3 > 0

    ∴ 或

例6.a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb垂直

解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|

    ∴当t =时, |a + tb|最小

 ② ∵b• (a + tb) = a•b  = 0   ∴b与a + tb垂直

例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设= b，= a，则=+= b+a, =a +b

∵A, G, D共线，B, G, E共线

∴可设=λ，= μ,

则=λ=λ(b+a)=λb+λa,

= μ= μ(b+a)=μb+μa,

∵      即：b + (μb+μa) =λb+λa

∴(μλ)a + (μλ+)b = 0    ∵a,  b不平行，

∴ =

例8.设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。

证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)

= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)

而=(a+5b)     ∴= (+ 1)

又∵, 有公共点   ∴A,B,D三点共线

例9.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，①求证：A，B，C三点不共线

②以、为一组基底来表示++ 

解：①∵=(1,3), =(2,4)  ∵1×43×20  ∴

      ∴A，B，C三点不共线

 ②++=(3,5)+(4,2)+(5,1) = (12,8)

 设：++= m+ n

 即：(12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)

 ∴ ∴++= 3222

例10.求证：|a + b |≤|a| + |b|

证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos

≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2

即：|a + b |≤|a| + |b|

例11.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为.求①.F3的大小；②.∠F3OF2的大小.

解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2）

∴| F3|=| F1+F2|=

②如图：以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3正交分解，设∠F3OM=

由受力平衡知

解之得

于是

∠F3OF2

作业设计：

 1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.

2、完成教材P126---127中A组习题第4---14题.

3、（选做）复习题2的B、C组试题.

[课后反思]