中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第39讲 与圆有关的角（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点三十九：与圆有关的角

聚焦考点☆温习理解

一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。[来源:Z_xx_k.Com]

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。学-科网

3、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

4、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.

【例1】(2019•甘肃庆阳•3分)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是(　　)

A．22.5° B．30° C．45° D．60°

【举一反三】

(2018海南中考模拟)如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为(  )

A．25° B．50° C．60° D．80°

考点典例二、圆周角与垂径定理的关系

【例2】(2019•山东威海•3分)如图，⊙P与x轴交于点A(﹣5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为(　　)

A．+ B．2+ C．4 D．2+2

【举一反三】

(2019•四川省凉山州•4分)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是　2　．

考点典例三  圆周角与切线之间的关系

【例3】(2019•江苏无锡•3分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为(　　)

A．20° B．25° C．40° D．50°

【举一反三】(2019•广西贺州•10分)如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．

(1)求∠ADB的度数；

(2)求AC的长度．

考点典例四  与圆周角有关的证明

【例4】 (2019•湖南益阳•10分)如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

(2)求证：ND＝NE；

(3)若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

【举一反三】

已知是的直径，弦与相交，.

(Ⅰ)如图①，若D为的中点，求和的大小；

(Ⅱ)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点P，若，求的大小.

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．【辽宁省盘锦市双台子区2019届九年级下学期第二次联考数学试题】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是

A．30°    B．45°    C．60°    D．70°

2. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是(   )

A. 点在圆内    B. 点在圆上    C. 点在圆心上    D. 点在圆上或圆内

3. (2018山东济南中考模拟)如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为(    )

A．        B．      C.       D．

4. (2017新疆建设兵团第9题)如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为(　　)

A．12 B．15 C．16 D．18[来源:学科网ZXXK]

5. (山东省济南市长清区2018届九年级3月质量(模拟)检测数学试题)如图，直径为10的经过点C和点O，点B是y轴右侧优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为(    )

A.     B. C.     D.

6(西藏拉萨北京实验中学等四校2018届九年级第一次联考数学试题)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于(　　)

A. 80    B. 60    C. 50    D. 40

二．填空题

1. 【2019年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷】如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，∠CDB=22.5°，则AB=__________．

2. 如图，在矩形中，，，点E在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________．

3. 如图，是的外接圆，，，则的直径为__________．

4. 如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．

(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为_____cm．

(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为_____cm．

5. (2018湖南株洲第中考模拟)如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=　　．

6. (2017湖北孝感第15题)已知半径为的中，弦，弦，则的度数为          ．

7. (2017青海西宁第17题)如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则______.

8. (2017海南第18题)如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是       ．

三、解答题

1. (2018湖北黄冈中考模拟) 如图，的直径 弦的平分线交于 过点作交延长线于点，连接

(1)由，，围成的曲边三角形的面积是          ；

(2)求证：是的切线；

(3)求线段的长.

2. (2019•河南)如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．

(1)求证：△ADF≌△BDG；

(2)填空：

①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为__________；

②取的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．

3.(2019•包头)如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接．

(1)求⊙半径的长；

(2)求证：．