中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第40讲 与圆有关的位置关系（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点四十：与圆有关的位置关系

聚焦考点☆温习理解

一、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d<r点P在⊙O内；

d=r点P在⊙O上；

d>r点P在⊙O外。

二、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下： [来源:Zxxk.Com]

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交 ＜====＞ d<r；

直线l与⊙O相切 ＜====＞ d=r；

直线l与⊙O相离 ＜====＞ d>r；

切线的判定和性质 ： 

(1)、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。

切线长定理 ：  

(1)、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 

到圆的切线长。

(2)、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点

的连线平分两条切线的夹角。

(3)、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

三、圆和圆的位置关系

    1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离d>R+r

两圆外切d=R+r

两圆相交R-r<d<R+r(R≥r)

两圆内切d=R-r(R>r)

两圆内含d<R-r(R>r)

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、直线与圆的位置关系

【例1】(2019•广东广州•3分)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(　　)

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

【举一反三】(2017广西百色第11题)以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是(   )

A．         B．       C.         D．

考点典例二、切线的性质及判定

【例2】(2019•湖北省咸宁市•9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．

(1)试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【举一反三】

(2019•四川省达州市•8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．

(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．

考点典例三、圆和圆的位置关系

【例3】1．(2019•上海)已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是(　　)

A．11 B．10 C．9 D．8

【举一反三】

(2018学年嘉定区初三一模))如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，， ，以点为圆心， 长为半径的⊙与边交于点，以点为圆心， 长为半径的⊙与⊙另一个交点为点.

(1)求的长；

(2)求的长．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．(2018湖南随州中考模拟)在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定　[来源:学|科|网Z|X|X|K]

2. 如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是(    )

A. 3    B.     C.     D.

3. 如图，与相切于点，若，则的度数为(   )

A.     B.     C.     D.

4. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为(    )

A. 4    B.     C. 3    D. 2.5

5. (2019湖北仙桃)(3分)如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6. (黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模考试数学试题)如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为(        )

A. 40°    B. 50°    C. 60°    D. 80°

7. (2018贵州遵义中考模拟)如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

二．填空题

8. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．

9. 如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.

10. (2019•江苏苏州•3分)如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为    .

11. (2018上海中考模拟)如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是　  　．

三、解答题

12. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试)如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．

(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．

13. (天津市和平区 汇文中学 2018年九年级数学中考夯基卷)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.

(1)求证：直线CP是⊙O的切线；

(2)若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.

14. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.

(1)求证：是的切线；

(2)设，，试用含的代数式表示线段的长；

(3)若，，求的长.

15. 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．

(1)求证：∠BPD=∠BAC．   

(2)连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2时，在点P的整个运动过程中．

①若∠BDE=45°，求PD的长；

②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长；

(3)连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC//BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．

16. (2019湖北省鄂州市)(10分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)求证：E为△PAB的内心；

(3)若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

17. (2019•四川省凉山州•8分)如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．