中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第40讲与圆有关的位置关系（解析版）学案

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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第40讲与圆有关的位置关系（解析版）学案，共32页。学案主要包含了点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习讲义
考点四十：与圆有关的位置关系
聚焦考点☆温习理解
一、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d d=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
二、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下： [来源:Zxxk.Com]
(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交＜====＞ d 直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；
直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；
切线的判定和性质：
(1)、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。

切线长定理：
(1)、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点
到圆的切线长。
(2)、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点
的连线平分两条切线的夹角。
(3)、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

三、圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r 两圆内切d=R-r(R>r)
两圆内含dr)
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、直线与圆的位置关系
【例1】(2019•广东广州•3分)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．
【点睛】考查了直线与圆的位置关系和一次函数的图象与性质，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．
【举一反三】(2017广西百色第11题)以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是( )
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】

则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选D

考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系．
考点典例二、切线的性质及判定
【例2】(2019•湖北省咸宁市•9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
(1)试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【分析】(1)如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；
(2)连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：(1)FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切；
(2)连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，
∴FG＝．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

【举一反三】
(2019•四川省达州市•8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．

【分析】(1)连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到DF与⊙O相切；
(2)根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：(1)DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
(2)∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴＝，
∴BD＝．

【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、切线的判定，证得∠BAD＝∠DAC是解题的关键．

考点典例三、圆和圆的位置关系
【例3】1．(2019•上海)已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是(　　)
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．

由题意：，
解得，
故选：C．
【举一反三】
(2018学年嘉定区初三一模))如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，以点为圆心，长为半径的⊙与边交于点，以点为圆心，长为半径的⊙与⊙另一个交点为点.
(1)求的长；
(2)求的长．

【答案】(1)2(2)
【解析】试题分析：(1)过点作，垂足为点，得.运用勾股定理求出AB=5，再通过解直角三角形得到AH=1，从而得解；
(2)运用平行线分线段成比例即可求解.
试题解析：(1)过点作，垂足为点，

(2)设与的交点为，
由题意，得, ，

∴，
∴∥，
∴ ，
∵, ，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ .
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．(2018湖南随州中考模拟)在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定　[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【答案】A．

考点：直线与圆的位置关系．
2. 如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )

A. 3 B. C. D.
【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．
【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，
根据勾股定理得：OB=3，
则光盘的直径为6，
故选D.

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
3. 如图，与相切于点，若，则的度数为( )

A. B. C. D.
【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
详解：如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选A．

点睛：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
4. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为( )

A. 4 B. C. 3 D. 2.5
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】A
【解析】【分析】连接OD，由已知易得△POD∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例可求得PO的长，由PA=PO-AO即可得.
【详解】连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，∴OD⊥PD，
∴∠PDO=90°，
∵∠BCP=90°，
∴∠PDO=∠PCB，
∵∠P=∠P，
∴△POD∽△PBC，
∴PO：PB=OD：BC，
即PO：(PO+4)=4：6，
∴PO=8，
∴PA=PO-OA=8-4=4，
故选A.
【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接OD构造相似三角形是解题的关键
5. (2019湖北仙桃)(3分)如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB(SAS)，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；
故选：A．

6. (黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模考试数学试题)如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为( )

A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°
【答案】B

故选B.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
7. (2018贵州遵义中考模拟)如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半径相等．
在Rt△BC中，AB=4，BC=3，∴AC==5，∴⊙P的半径r===1．
连接点P、Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP=90°，如图所示．

在Rt△QEP中，QE=BC﹣2r=3﹣2=1，EP=AB﹣2r=4﹣2=2，∴PQ===．故选B．
考点：三角形的内切圆与内心；矩形的性质．
二．填空题
8. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．

【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题
【答案】44°
【解析】分析：首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
详解：连接OB，

∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°
点睛：此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
9. 如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.

【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】60°
【解析】【分析】由AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根据已知条件可得到BD=OB，在Rt△OBD中，求得∠B=60°，继而可得∠A=120°，再利用四边形的内角和即可求得∠DOE的度数.
【详解】∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，
∵四边形ABOC是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，
∵BD=AB，
∴BD=OB，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，BD=OB，∴cos∠B=，∴∠B=60°，
∴∠A=120°，
∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：60°.
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
10. (2019•江苏苏州•3分)如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为 .

【答案】
【解答】切线性质得到

11. (2018上海中考模拟)如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是　　．

【答案】8＜r＜10
【解析】
试题分析：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，
⊙A的半径为：AC=AD=4，
⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；

如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，
⊙A的半径为：AB=AD=5，
⊙B的半径为：r=2AB=10；
∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．
故答案为：8＜r＜10．
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系；3.勾股定理.
三、解答题
12. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试)如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．

(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．
【答案】(1)PC是⊙O的切线；(2)
连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．
(2)连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴，即，解得r=．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=×=．

点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13. (天津市和平区汇文中学 2018年九年级数学中考夯基卷)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证：直线CP是⊙O的切线；
(2)若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.

【答案】详见解析.
【解析】试题分析: (1)欲证明直线CP是的切线，只需证得CP⊥AC；
(2)利用正弦三角函数的定义求得的直径则的半径为

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AC是的直径，∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP.
∵∠CAN+∠ACN=，
∴∠BCP+∠ACN=，
∴CP⊥AC,
∵OC是的半径
∴CP是的切线；
(2)
∴AC=5，
∴的半径为
如图，过点B作BD⊥AC于点D.
由(1)得
在Rt△CAN中,
在△CAN和△CBD中，

∴△CAN∽△CBD，

∴BD=4.
在Rt△BCD中,
∴AD=AC−CD=5−2=3，
∵BD∥CP，

∴△APC的周长是AC+PC+AP=20.
14. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.

(1)求证：是的切线；
(2)设，，试用含的代数式表示线段的长；
(3)若，，求的长.
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】分析：(1)连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
(2)连接DF，由(1)得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；
(3)连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可．
详解：(1)证明：如图，连接OD，

∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；

(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=，
设圆的半径为r，可得，
解得：r=5，
∴AE=10，AB=18，
∵AE是直径，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE•sin∠AEF=10×，
∵AF∥OD，
∴，即DG=AD，
∵AD=，
则DG=×=．
点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15. 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．

(1)求证：∠BPD=∠BAC．
(2)连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE=45°，求PD的长；
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长；
(3)连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC//BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】(1)证明见解析；(2)①PD=2；当BD为2，3或时，△BDE为等腰三角形；(3)=
【解析】分析: (1)根据垂直的定义得出∠ABP=∠ACP=90°，根据四边形的内角和得出∠BAC+∠BPC=180°，根据平角的定义得出∠BPD+∠BPC=180°，根据同角的余角相等得出∠BPD=∠BAC ；
(2)①如图1，根据等腰直角三角形的性质得出BP=AB=2，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出BP= PD，从而得出PD的长；②Ⅰ如图2，当BD=BE时，∠BED=∠BDE，故∠BPD=∠BPE=∠BAC根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠BPE=2，根据正切函数的定义由AB=2,得出BP=，根据勾股定理即可得出BD=2；Ⅱ如图3，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB；由∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，得出∠APB=∠APC

详解:
(1)解：∵PB⊥AM，PC⊥AN
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BAC+∠BPC=180°
∵∠BPD+∠BPC=180°
∴∠BPD=∠BAC
(2)解 ;①如图1，

∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°，
∴BP=AB=
∵∠BPD=∠BAC
∴tan∠BPD=tan∠BAC
∴ =2
∴BP=PD
∴PD=2
∴∠BPD=∠BPE=∠BAC
∴tan∠BPE=2
∵AB=
∴BP=
∴BD=2
Ⅱ如图2，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB

∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC
∴∠APB=∠APC
∴AC=AB=2
过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形

∵AB= ，tan∠BAC=2
∴AG=2
∴BD=CG=
Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC

∵∠DEB=∠DPB=∠BAC
∴∠APC=∠BAC
设PD=x，则BD=2x
∴ =2
∴ =2
∴x=
∴BD=2x=3
综上所述，当BD为2，3或时，△BDE为等腰三角形
(3),
如图5，过点O作OH⊥DC于点H

∵tan∠BPD=tan∠MAN=1
∴BD=DP
令BD=DP=2a，PC=2b得
OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b
由OC∥BE得∠OCH=∠PAC
∴
∴OH·AC=CH·PC
∴a(4a+2b)=2b(a+2b)
∴a=b
∴CF=，OF=
∴.
点睛: 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理及三角函数的应用等知识点.
16. (2019湖北省鄂州市)(10分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求证：E为△PAB的内心；
(3)若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

【分析】(1)连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
(2)连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
(3)根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】(1)证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP(SAS)，
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
(2)证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
(3)解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．
17. (2019•四川省凉山州•8分)如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

【分析】(1)连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
(2)根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：(1)如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
(2)∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．