2012数学第8章 8.2.7《随机变量的方差》知能优化训练（湘教版选修2-3）教案

1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：选B.∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　)A．6　　　　　　　　　　　 B．9C．3   D．4解析：选A.E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)A.   B.C.   D．5解析：选A.两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B，因此D(ξ)＝10××＝.4．已知随机变量X～B(10,0.6)，则E(X)＝________，D(X)＝________.解析：E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案：6　2.4一、选择题1．已知X的分布列为X012P设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　)A.   B.C.   D.解析：选A.D(X)＝02×＋12×＋22×－1，∴D(X)＝.∴D(Y)＝22D(X)＝.2．已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为(　　)A．100,0.8　　　　　　　　　 B．20,0.4 C．10,0.2   D．10,0. 8解析：选C.由题意可得，解得p＝0.2，n＝10.3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则(　　)A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52   B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5   D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝解析：选B.E(ξ)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，D(ξ)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋2×＋2×＋2×＝.4．若ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.1，则(　　)ξ01xP0.2p0.3A.D(ξ)＝2　　　　　　　　 B．D(ξ)＝0.51C．D(ξ)＝0.5   D．D(ξ)＝0.49解析：选D.0.2＋p＋0.3＝1，∴p＝0.5.又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，∴x＝2，∴D(ξ)＝02×0.2＋12×0.5＋22×0.3－1.12＝0.49.5．若随机变量ξ的分布列为 ξ01Pmn，其中m∈(0,1)，则下列结果中正确的是(　　)A．E(ξ)＝m，D(ξ)＝n3B．E(ξ)＝n，D(ξ)＝n2C．E(ξ)＝1－m，D(ξ)＝m－m2D．E(ξ)＝1－m，D(ξ)＝m2解析：选C.∵m＋n＝1，∴E(ξ)＝n＝1－m，D(ξ)＝m(0－n)2＋n(1－n)2＝m－m2.6．若随机变量X1～B(n,0. 2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则σ(X3)的值是(　　)A．0.5   B.C.   D．3.5解析：选C.∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10.又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝，∴p＝.又X3～B(n，p)，∴X3～B，∴σ(X3)＝＝ ＝.二、填空题7．已知随机变量X的分布列为：X1234P则D(X)＝________.解析：E(X)＝＋＋＋1＝，∴D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.答案：8．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，则自动包装机________的质量较好．解析：乙包装机的质量稳定．答案：乙9．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.解析：由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.答案：三、解答题10．工商局所检查的100箱矿泉水中有5箱不合格，现从中随机抽取5箱检查，计算：(1)抽取的5箱中平均有多少箱合格；(2)计算抽出的5箱中合格箱数的方差和标准差．解：用X表示抽到的5箱中的合格箱数，则X服从超几何分布(N，M，n)其中N＝100，M＝95，n＝5.(1)E(X)＝5×＝4.75.即平均有4.75箱合格．(2)D(X)＝5××(1－)×≈0.228，σ＝≈0.48(箱)．11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解：这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上标有2，则P(ξ＝6)＝＝；ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝＝；ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝＝.∴ξ的分布列为ξ6912P∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3. 36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X8090100概率P0.20.60.2 乙：分数Y8090100概率P0.40.20.4 试分析两名学生的成绩水平．解：∵E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．