2012数学第8章 8.2.6《随机变量的数学期望》知能优化训练（湘教版选修2-3）教案

1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是(　　)

A．0.2　　　　　　　　　 B．0.8

C．1   D．0

解析：选B.因为P(ξ＝1)＝0.8，P (ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.

2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于(　　)

A.   B.

C.   D．1

解析：选A.ξ～H(10,3,2)，E(ξ)＝＝.

3．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的期望为(　　)

A．0.6   B．1

C．3.5   D．2

解析：选C.抛掷骰子所得点数X的分布列为

E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.

4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种1粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．

解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，没有发芽的种子数即为补种的种子数，

则X～B(1000,0.1)，∴E(X)＝1000×0.1＝100.

答案：100

一、选择题

1．若X的分布列为

，则E(X)＝(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选A.由题意知＋a＝1，E(X)＝0×＋a＝a＝.

2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是(　　)

A．0.70   B．6

C．4.2   D．0.42

解析：选C.得分X～B(6,0.7)，

E(X)＝6×0.7＝4.2.

3．已知ξ～B，η～B(n，)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　)

A．5   B．10

C．15   D．20

解析：选B.E(ξ)＝n＝15，∴n＝30，

∴η～B，∴E(η)＝30×＝10.

4．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是(　　)

A．0.4   B．1.5

C．0.43   D．0.6

解析：选B.途中遇到红灯次数服从二项分布X～B(3，0.5)，∴E(X)＝3×0.5＝1.5.

5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的期望是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1,2,3，

P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝×＝，

P(ξ＝3)＝××＝.

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

6．若X、Y是离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则有E(Y)＝aE(X)＋b.利用这个公式计算E(E(ξ)－ξ)＝(　　)

A．0   B．1

C．2   D．不确定

解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)＋E(－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.

二、填空题

7．已知随机变量ξ的分布列为

则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________，E(ξ)＝________.

解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，

P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)

＝0.2＋0.3＝0.5，

E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.

答案：0.3　0.5　2.1

8．随机变量X的分布列为

则E(X)＝________.

解析：由均值的定义得E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.

答案：2.4

9．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.

解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，

即30a＋10b＝3，又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，

即10a＋4b＝1，解得：a＝，b＝0，

∴a＋b＝.

答案：

三、解答题

10．某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？

解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1,2，…，3000)，

所以P(ξ＝k)＝C·0.04k·(1－0.04)3000－k，

可见ξ～B(3000，0.04)，

所以E(ξ)＝3000×0.04＝120(人)>100(人)．

所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应准备120份礼品，才能使每一位领奖人都得到礼品．

11．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5

(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；

(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.

解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(ξ＝5)＝C0.55＝.

(2)ξ的分布列为

设游客在一次游戏中获得奖金为X元，

于是X的分布列为

故该游客在一次游戏中获得奖金的均值：E(X)＝(－2)×＋0×＋40×＝－0.375(元)．

12．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？

解：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：

根据均值公式，

得E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；

E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.

E(X2)＞E(X1)，

故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，

所以乙获胜希望大．