高一数学北师大版选修2-2第三章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上(　　)A．是增函数　　　　　　　 B．是减函数C．有最大值      D．有最小值解析：∵f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．答案：A2．定义在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)有最小值f(x0)B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0)D．函数f(x)不一定有最小值解析：闭区间上的唯一的极值点也是最值点．答案：A3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)(　　)A．在(－∞，0)上为减少的B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减少的D．在x＝2处取极大值解析：在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．答案：C4．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f(1)＝(　　)A.       B．1C.       D．－1解析：∵f′(x)＝x2＋a，又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.答案：C5．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为(　　)A．0       B.C.       D.解析：由f′(x)＝1－2·sin x＝0，得sin x＝，又x∈，所以x＝，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，故x＝时取得最大值．答案：B6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)A．0≤a≤21        B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21        D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A7．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为(　　)A．(－∞，0)       B．(0,2)C．(2，＋∞)       D．(－∞，＋∞)解析：∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，∴即令f′(x)＝3x2－6x<0，则0<x<2.答案：B8．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)A．[0,1)        B．(0,1)C．(－1,1)        D.解析：f′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，且f′(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，则∈(0,1)，∴0<a<1.答案：B9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为(　　)A．15件        B．20件C．25件        D．30件解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：C10．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,2)       B．[－2,2]C．(－∞，－1)      D．(1，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1，当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(－1)为极大值，f(1)为极小值，由题意得f(1)<0<f(－1)，即－2＋a<0<2＋a，∴－2<a<2.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．函数y＝2x3－6x2＋11的单调递减区间为________．解析：y′＝6x2－12x，令6x2－12x<0，得0<x<2.答案：(0,2)12．函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值，则a的值是________．解析：因为f(x)＝asin x＋sin 3x，则f′(x)＝acos x＋cos 3x.函数f(x)在x＝处有极值，所以f′＝acos＋cos＝0，解得a＝2.答案：213．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最大值为________，最小值为________．解析：∵f′(x)＝3x2－6x＋6＝3[(x－1)2＋1] >0，∴函数f(x)在[－1,1]上为增函数，故最大值为f(1)＝2，最小值为f(－1)＝－12.答案：2　－1214．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.令g(x)＝2x2－2x2ln x，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，0(舍去)，且0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时g′(x)<0，∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.答案：[e，＋∞)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断在x＝1，x＝2处函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由．解：f′(x)＝＋2bx＋1.(1)因为f′(1)＝f′(2)＝0，所以解得经检验，a＝－，b＝－满足题意．(2)由(1)知，f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，故在x＝1处函数取得极小值f(1)＝，在x＝2处函数取得极大值f(2)＝－ln 2.16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且当x∈[－1,2]时，f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，则方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，由Δ>0得1－12b>0即b<.所以b的取值范围是(－∞，)．(2)∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，∴3－1＋b＝0，得b＝－2.则f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2) (x－1)．令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，又f(－1)＝＋c，f＝＋c，f(1)＝－＋c，f(2)＝2＋c.∴[f(x)]max＝2＋c<c2，解得c>2或c<－1.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．17．(本小题满分12分)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10千米/时，燃料费是每小时6元，而其他和速度无关的费用是每小时96元，问：轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最小？解：设速度为v千米/时的燃料费是每小时p元，则p＝kv3.又∵6＝k·103，∴k＝0.006，∴p＝0.006v3.设行驶1千米所需的总费用为y元，则y＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋(v>0)．∴y′＝0.012v－，由y′＝0，得v＝20千米/时．又∵当0<v<20时，y′<0；当v>20时，y′>0.∴当速度为20千米/时，航行1千米所需的费用总和最小．18．(本小题满分14分)(2012·安徽高考)设函数f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．解：(1)f′(x)＝aex－，当f′(x)＞0，即x＞－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；当f′(x)＜0，即x＜－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．①当0＜a＜1时，－ln a＞0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b；②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.故a＝，b＝.