高一数学北师大版选修2-1 第三章 §4 4.2&4.3 应用创新演练教案

1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)

A．1条　　　　　　　　　　B．2条

C．3条       D．4条

解析：点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．

答案：B

2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)

A．2      B．±

C．±2      D．±2

解析：由消去y并整理得

2x2－2mx＋m2－4＝0.

由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.

∴m＝±2.

答案：C

3．直线y＝(x－5)与双曲线－＝1(　　)

A．左右支各有一个交点     B．右支交于两点

C．有且只有一个交点     D．无交点

解析：双曲线的渐近线为y＝±x，焦点为(5,0)，(－5,0)，而直线y＝(x－5)过双曲线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行．故直线与双曲线只有一个交点．

答案：C

4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1      B．x＝－1

C．x＝2      D．x＝－2

解析：抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，

所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.

答案：B

5．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．

解析：法一：显然直线AB存在斜率，

设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则AB方程为y－1＝k(x－2)，由

得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，

∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.

法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，

y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.

两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.

显然x1－x2≠0，

∴＝＝6，即kAB＝6.

答案：6

6．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为________．

解析：设M(x，y)，则＝，

∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.

∴2x2＋3y2＝6.

∴所求方程为＋＝1.

答案：＋＝1

7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．

解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

消去x得：y2＝8⇒y2－6y－16＝0⇒y1＝8，y2＝－2.

∴|AB|＝ |y1－y2|＝，

由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.

8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1<0，y2>0)，

(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.

联立消去x得

(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.

可得Δ＝48a2b4.

所以y1＝，

y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2，

即＝2·，

得离心率e＝＝.

(2)因为|AB|＝ |y2－y1|，

所以·＝.

由＝得b＝a.

所以a＝，得a＝3，b＝.

    所以椭圆C的方程为＋＝1.