高一数学北师大版选修2-1 第二章 §4 第二课时 应用创新演练教案

1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面π的法向量为n＝(－3,0，－6)，则(　　)

A．l∥π　　　　　　　　　　  B．l⊥π

C．lπ        D．l与π斜交

解析：a＝－n，∴a∥n，∴l⊥π.

答案：B

2．已知平面π内有一个点M(1，－1,2)，平面π的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面π内的是(　　)

A．P(2,3,3)      B．P(－2,0,1)

C．P(－4,4,0)     D．P(3，－3,4)

解析：对选项A：＝(1,4,1)．·n＝6－12＋6＝0.

∴⊥n，故点P(2,3,3)在π内．

答案：A

3．若直线l的一个方向向量为(2,1,2)，向量(－1,2,0)及向量(0,2，－1)都与平面π平行，则(　　)

A．l⊥π     B．l∥π

C．lπ     D．以上都不对

解析：∵(2,1,2)·(－1,2,0)＝0，

(2,1,2)·(0,2，－1)＝0，

而向量(－1,2,0)与向量(0,2，－1)不共线，∴l⊥π.

答案：A

4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量等于(　　)

A.      B.

C.      D.

解析：·＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.＝.

答案：A

5．已知A，B，C三点的坐标分别为A(4,1,2)，B(2,5，－1)，C(3,2，λ)，若AC⊥BC，则λ＝________.

解析：∵＝(－1,1，λ－2)，＝(1，－3，λ＋1)，

且⊥，

∴－1－3＋(λ－2)(λ＋1)＝0.

解得λ＝3或－2.

答案：3或－2

6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．

解析：∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB.

故①正确；·＝－4＋4＋0＝0，

∴AP⊥AD，故②正确；由①、②知AP⊥平面ABCD，故③正确，④不正确．

答案：①②③

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD.

证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.

(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．

故点G的坐标为，

且＝，＝.

∴＝2，则PA∥EG.

又EG 平面EDB且PA⃘平面EDB.

∴PA∥平面EDB.

(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，

＝，

故·＝0＋－＝0.

∴PB⊥DE，

又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，

∴PB⊥平面EFD.

8.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．

求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明：如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，

∵D为BC的中点，

∴D点坐标为(1,1,0)．

∴＝(0,0，)，＝(1,1,0)，

＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．

设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，

平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

由得

令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．

由得

令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝.

∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.

∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.