高一数学北师大版选修1-1 创新演练阶段质量检测第四章 §2 2.2 应用创新演练教案

1．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　)

A．72　　　　　　　　　　 B．36

C．12        D．0

解析：y′＝4x3－4，令y′＝0，得x＝1.当x＝1时，y＝0，而x<1时，y′<0，x>1时，y′>0，

∴x＝1时函数取极小值0，也是最小值．

答案：D

2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．1，－1       B．3，－17

C．1，－17      D．9，－19

解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－1(x＝1舍去)．

又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1.

故最大值为3，最小值为－17.

答案：B

3．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)      B．(－∞，1]

C．(1，＋∞)      D．[1，＋∞)

解析：∵f(x)＝ax－ln x，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，

∴a>在(1，＋∞)内恒成立．

设g(x)＝，

∴x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝<0，

即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)<g(1)＝1，

∴a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)．

答案：D

4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)

A.        B.

C.       D．2

解析：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，

则V＝x2h，

∴S＝2×x2＋3xh＝x2＋.

由S′＝x－＝＝0，得x＝.

当0＜x＜时，S′＜0，当x＞时，S′＞0，

∴x＝时，S最小．

答案：C

5．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为________．

解析：f′(x)＝1－2sin x，令f′(x)＝0得sin x＝.

又x∈，∴x＝.

当0<x<时，f′(x)>0； <x<时，f′(x)<0，

则x＝时函数取极大值，也为最大值．

答案：

6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

解析：设底面半径为r，高为h，

∴πr2·h＝27π，得h＝.

∴S表＝2πr·h＋πr2＝＋πr2.

∴S′(r)＝2πr－54πr－2，令S′(r)＝0，得r＝3.

当r<3时，S′(r)<0，当r>3时，S′(r)>0，

∴r＝3是极小值点，也是最小值点．

答案：3

7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．

(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a.

所以f(2)>f(－2)．因为在(－1,3)上f′(x)>0，

所以f(x)在[－1,2]上是增加的，

又由于f(x)在[－2，－1]上是减少的，

因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．

于是有22＋a＝20，解得a＝－2.

故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.

因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.

8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

即n＝－1，

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m－256.

(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－

＝(x－512)．

令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.

当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减少的；

当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增加的．

所以f(x)在x＝64处取得最小值．

此时n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．