2021学年第二章 解三角形综合与测试教学设计及反思

第十课时《解三角形》本章小结与复习

一、教学目标：1、熟练掌握三角形中的边角关系：掌握边与角的转化方法；掌握三角形的形状判断方法。2、通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向杰斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。3、注重思维引导及方法提炼，展现学生的主题作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心。

二、教学重难点：重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。

难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用，及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个数学问题。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（二）、知识归纳

1.解三角形常见类型及解法

(1)已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;(2)已知两边和夹角,利用余弦定理求其它边和角;(3)已知三边,利用余弦定理求其它的角;

(4)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形.

2.三角形解的个数的确定： 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形理解.

3.三角形形状的判定方法： 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.

4.解三角形应用题的基本思路： 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答.

（三）例题探析

例1、在中，，．

（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．

解：（Ⅰ），．

又，．

（Ⅱ），    边最大，即．

又，      角最小，边为最小边．

由且，得．

由得：．     所以，最小边．

例2、在中，已知内角，边．设内角，周长为．

（1）求函数的解析式和定义域；    （2）求的最大值．

解：（1）的内角和，由得．

 应用正弦定理，知 ，

．

 因为，所以，

（2）因为，

 所以，当，即时，取得最大值．

例3、在中，角的对边分别为．

（1）求；       （2）若，且，求．

解：（1）   又     解得．

 ，是锐角．       ．

（2），  ，     ．

 又      ．    ．

 ．             ．

例4、已知的周长为，且．

（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得，     ，

两式相减，得．

（II）由的面积，得，

由余弦定理，得，

所以．

例5、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos

化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sinBAC ===

BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83

答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

（四）、小结：通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。

（五）、作业布置：课本复习题二A组5、6、7   B组1    C组2

五、教后反思：